2.4. Представление экспериментальных данных формулами без использования мнк
Для расчетов и оптимизации, как правило, вместо табличных данных и графиков используются формулы, которые отражают закономерности табличного или графического материала. Когда теория процесса отсутствует, исследователь вынужден сам создавать математическую модель, т.е. определить ее вид и вычислить коэффициенты к ней. Наиболее корректно это можно выполнить с использованием МНК. Однако существуют и другие достаточно простые способы подбора эмпирических уравнений, основные из которых рассмотрены ниже.
2.4.1. Выбор эмпирической формулы. Метод выравнивания.
В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может быть произведен на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости. В других случаях приходится подбирать формулу, сравнивая кривую, построенную по данным наблюдений, с типичными графиками формул. Такие графики приведены в справочниках. Иногда оказывается, что эмпирическая кривая похожа на несколько кривых, уравнения которых различны. Изменение численных коэффициентов, входящих в формулу, часто резко меняет вид ее графика. Выбор масштаба координатных осей отражается на форме построенной кривой, что также может привести к кажущемуся отличию экспериментальной кривой от графика вполне соответствующей ей формулы.
Поэтому, прежде чем определять численные значения коэффициентов в выбранной эмпирической формуле, необходимо проверить возможность ее использования. Лишь после этого можно перейти к отысканию тех значений постоянных коэффициентов, которые дадут наилучшее приближение опытных и вычисленных величин.
Метод выравнивания заключается в преобразовании функции y = F(x) таким образом, чтобы превратить ее в линейную функцию. Достигается это путем замены переменных х и у новыми переменными X=q(x,y) и Y=g(x,y), которые выбираются так, чтобы получилось уравнение прямой линии:
|
Y = a + bX |
(2.35) |
Вычислив значение Xi и Yi по заданным xi и yi, наносят их на график (диаграмму) с прямоугольными координатами (X,Y). Если построенные таким образом точки располагаются вблизи прямой линии, то выбранная эмпирическая формула y=F(x) подходит для характеристики зависимости y=f (x).
Пример 2.4: При изучении скорости химической реакции получены следующие данные, характеризующие количество вещества в реакционной смеси (y) в моменты времени (t) (табл. 2.11, строки 1 и 2). Необходимо определить вид эмпирической формулы, отвечающей опытным данным.
Таблица 2.11
Экспериментальные данные
t |
3 |
6 |
9 |
12 |
15 |
18 |
21 |
24 |
y |
57.6 |
41.9 |
31.0 |
22.7 |
16.6 |
12.2 |
8.9 |
6.5 |
Y∙102 |
1.74 |
2.39 |
3.23 |
4.41 |
6.02 |
8.20 |
11.2 |
15.4 |
X∙102 |
33.3 |
16.7 |
11.1 |
8.33 |
6.7 |
5.6 |
4.8 |
4.2 |
Y=ln(y) |
4.054 |
3.735 |
3.434 |
3.122 |
2.809 |
2.501 |
2.186 |
1.872 |
Рис.2.
График зависимости y=f(t)
Рис.3.
График зависимости Y=f(X)
Рис.4.
График зависимости Y=f(t)
По экспериментальным данным строим график (рис. 2.). Сравнивая вид полученной зависимости с известными (по справочникам) можно предположить, что для описания данной зависимости можно использовать следующие эмпирические формулы:
|
y = t / (a + b/t) |
(2.36) |
|
y = a ∙ exp(b∙t) |
(2.37) |
Проверим возможность использования эмпирической формулы (2.36). Введя новые значения переменных X = 1/t и Y = 1/y, приведем ее к линейному виду Y = a∙X + b. Рассчитаем новые значения переменных X и Y (табл. 2.11. строки 3 и 4) и построим график в координатах X, Y (рис.3). Как видно, полученные точки не укладываются на прямую, следовательно, данной эмпирической формулой нельзя описать экспериментальные данные.
Теперь проверим возможность использования эмпирической формулы (2.37). Прологарифмировав ее и введя новую переменную Y=ln(y), приводим эту формулу к линейному виду
|
Y = ln(a) + b∙t. |
(2.38) |
Вычисляем значения переменной Y (табл.2.11, строка 5). Строим график в координатах (t, Y) (рис.4). Видно, что точки хорошо укладываются на прямую, что доказывает возможность применения формулы (2.38) для описания экспериментальных данных.