2.5.2. Метод средних

Пусть эмпирическая формула имеет вид (2.35). Подставим в нее в место Х и Y опытные значения X_i и Y_i. Так как левая часть формулы обычно не равна правой, получим систему уравнений:

	a∙X1 + b - Y1 = E1; a∙X2 + b - Y2 = E2;	(2.42)
	. . . . . . . . . a∙Xn + b - Yn = En;

где Е₁, Е₂, . . . , Е_n ,- невязки (отклонения), могут быть как положительными, так и отрицательными.

Согласно методу средних, за наилучшую эмпирическую зависимость принимается та, которая обеспечивает нулевое значение суммы отклонений по всем экспериментальным точкам, т.е. алгебраическая сумма невязок равна нулю.

Для определения параметров а и b формулы (2.35) поступают следующим образом:

1) Составляют условные Y_i=a∙X_i + b, число которых m равно числу имеющихся собственных значений Х_i и Y_i .

2) Условные уравнения разбивают на примерные равные группы, число которых n равно числу определяемых коэффициентов (в данном случае - 2).

3) Уравнения, входящие в каждую из этих групп, складывают. Для данного случая получаем два уравнения:

	= a∙ + k∙b;	(2.43)
	= a∙ + (m-k) ∙b;	(2.44)

4) Из этих уравнений находят неизвестные коэффициенты a и b.

Группировку условных уравнений перед их суммированием можно провести различными способами, причем каждый из них дает несколько отличающиеся значения коэффициентов. Рекомендуется группировать уравнения в порядке монотонного изменения одной из переменных.

Пример2.6: По опытным данным (табл. 2.11) определить коэффициенты эмпирической зависимости (2.37).

Для определения коэффициентов формулы (2.37) используем ее линейный вид (2.38) Значения переменных Y= ln(y) и t берутся из табл. 2.11 (строки 1 и 5). Имеющиеся 8 пар значений разбиваем на 2 группы и составляем для каждой группы по 4 условных уравнения Y = ln(a) + b.t:

4.054 = ln(a) + b.3 2.809 = ln(a) + b.15

3.735 = ln(a) + b.6 2.501 = ln(a) + b.18

3.434 = ln(a) + b.9 2.186 = ln(a) + b.21

3.122 = ln(a) + b.12 1.872 = ln(a) + b.24

Просуммировав почленно каждую группу, получим систему нормальных уравнений:

14.345 = 4.ln(a) + b.30

9.368 = 4.ln(a) + b.78

Решив систему, находим значение коэффициентов формулы (2.38), приведенной к линейному виду:

ln(a) = 4.3639 b = – 0.1037

Переходя к исходному виду формулы (2.37) и определив коэффициент а (а = 78.563), получим окончательный вид эмпирической формулы:

y = 78.563.exp(–0.1037.b)

(2.45)

Сравнение значений Y_i^*, вычисленных по формуле (2.45), с опытными данными y_i (табл. 2.11, строка 2) приведено в табл.2.13.

Таблица 2.13

Оценка точности формулы (2.46)

I	ti	yi		Y = – yi	Y 2
1	3	57.6	57.558	–0.042	0.001764
2	6	41.9	42.169	0.269	0.072361
3	9	31.0	30.895	–0.105	0.011025
4	12	22.7	22.635	–0.065	0.004225
5	15	16.6	16.583	–0.017	0.000289
6	18	12.2	12.150	–0.050	0.00250
7	21	8.9	8.905	–0.001	0.000001
8	24	6.5	6.521	0.021	0.000441
					Y 2= 0.09261

Как видно из сопоставления суммы квадратов отклонений (табл.2.12 и 2.13), меньшая погрешность обеспечивается при использовании метода средних по сравнению с методом выбранных точек.

В курсовой работе необходимо сравнить результаты, полученные при применении трех методов: выбранных точек, средних и наименьших квадратов.