2.3. Задача с3

Ферма, состоящая из 7 стержней и пяти узлов, закреплена, как показано на рисунках 3.0-3.9. В узлах фермы приложены две сосредоточенные силы, значения которых и точки их приложения указаны в таблице 3. Здесь же даны размеры фермы. Требуется методом вырезания узлов определить усилия во всех стержнях фермы. Для трех стержней фермы (по усмотрению студента) сделать проверку методом сечений. При расчете принять  = 60º.

Указание. Вначале необходимо составить уравнения равновесия для всей фермы в целом и определить три неизвестные реакции опор.

Таблица 3

Исходные данные для решения задачи С3

Номер варианта	Силы		Силы
			F1 = 10 kH		F2 = 20 kH		F3 = 30 kH		F4 = 40 kH
	а, м	H, м	точка приложения	α1, град	точка приложения	α2, град	точка приложения	α3, град	точка приложения	α4, град
0	4	2	С	30	–	–	–	–	D	60
1	5	3	–	–	E	30	C	60	–	–
2	6	4	E	60	–	–	–	–	C	30
3	7	3	–	–	Е	60	С	30	–	–
4	8	4	C	30	–	–	–	–	D	60
5	4	2	–	–	D	30	–	–	C	90
6	5	3	E	60	–	–	C	30	–	–
7	6	4	–	–	C	60	–	–	E	30
8	7	3	Е	60	–	–	D	30	–	–
9	8	2	–	–	D	60	C	30	–	–

Рисунки к вариантам заданий

Рис. 3.0 Рис. 3.1

Рис. 3.2 Рис. 3.3

Рис. 3.4 Рис. 3.5

Рис. 3.6 Рис. 3.7

Рис. 3.8 Рис. 3.9

Пример выполнения задачи С3

Дано: в узлах фермы С и D приложены силы: F₁ =10 кH и F₂ = 20 кH.

Определить: усилия во всех стержнях фермы методом вырезания узлов. Кроме того, определить усилия в стержнях 2-4 методом сечений. Размеры указаны на рисунке 3.10.

Рис. 3.10

Решение:

1. Определим реакции опор: x_A, y_A, R_B.

Для этого составим уравнения равновесия для всей фермы в целом:

(12)

(13)

(14)

Решая уравнения (12-14), находим:

x_A = –16,309 кН; y_A = 1,752 кН; R_B = 15,297 кН.

2. Определим усилия в стержнях фермы методом вырезания узлов. Вначале будем полагать, что все стержни растянуты, тогда их реакции будут направлены во внутрь стержней. Покажем все силы, действующие на узел А (рис. 3.11, а). Поскольку в узле А сходится только 2 стержня, то усилия в этих стержнях можно определить из уравнений равновесия:

, отсюда

, отсюда

Далее можно рассмотреть равновесие узла В (в нем сходится два стержня) или узла С (рис. 3.11, б). В узле С сходится три стержня, но усилие s₁ нами уже определено, поэтому из уравнений равновесия можно найти s₂, s₃. Угол α определим из треугольника АЕС: , тогда: α = 36,9º и sin α = 0,6; cos α = 0,8.

Составим уравнения равновесия:

Решая эту систему уравнений, находим: s₃ = 11,254 кH, s₂ = –17,663 кH. Отрицательные значения усилий в первом и втором стержнях показывают, что эти стержни не растянуты, как предполагалось, а сжаты.

а) б)

в)

Рис. 3.11

Далее можно рассмотреть равновесие узла Е и определить s₅, s₆. Из уравнения проекций на ось у для узла D можно найти усилие в седьмом стержне — s₇. Уравнения равновесия для узла В должны обратиться в тождество, они являются уравнениями проверки.

3. Определим усилия в стержнях 2, 3, 4 методом сечений. Рассечем ферму сечением I-I (рис. 3.11, в) и составим уравнения равновесия для части фермы, лежащей слева от сечения:

(15)

(16)

(17)

Из уравнения (15) находим s₂ = –17,663 кH.

Из уравнения (16) находим s₃ = 11,254 кH.

Из уравнения (17) находим s₄ = 16,309 кH.

Сравнивая эти результаты с полученными ранее, делаем вывод о том, что задача решена правильно.