2.4. Задача с4

Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами (тоже шарнирно) к неподвижным опорам А, В, С, D (рис. 4.0-4.9). Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах Н, К, L или М прямоугольного параллелепипеда) на рисунках не показаны и должны быть изображены по данным таблицы 4. В узле, который указан первым (см. табл. 4), приложена сила Р = 200 Н; во втором узле приложена сила Q = 100 H. Сила образует с положительными направлениями координатных осей х, y, z углы, равные соответственно: ₁ = 45, ₁ = 60, ₁ = 60, а сила Q — углы: ₂ = 60, ₂ = 45, ₂ = 60. Грани параллелепипеда, параллельные плоскости xy, — квадраты. Диагонали других (боковых) граней образуют с плоскостью xy угол  = 60, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол  = 51. Определить усилия в стержнях.

Указание. Задача С4 — на равновесие пространственной системы сходящихся сил. При её решении следует рассмотреть отдельно равновесие каждого из двух узлов.

Таблица 4

Исходные данные для решения задачи С4

Номер варианта	Узлы	Стержни
0	H, M	HM, HA, HB, MA, MC, MD
1	L, M	LM, LA, LD, MA, MB, MC
2	K, M	KM, KA, KB, MA, MC, MD
3	L, H	LH, LC, LD, HA, HB, HC
4	K, H	KH, KB, KC, HA, HC, HD
5	M, H	MH, MB, MC, HA, HC, HD
6	L ,H	LH, LB, LD, HA, HB, HC
7	K, H	KH, KC, KD, HA, HB, HC
8	L, M	LM, LB, LD, MA, MB, MC
9	K, M	KM, KA, KD, MA, MB, MC

Рисунки к вариантам заданий

Рис. 4.0 Рис. 4.1

Рис. 4.2 Рис. 4.3

Рис. 4.4 Рис. 4.5

Н

Рис. 4.6 Рис. 4.7

Рис. 4.8 Рис. 4.9

Пример решения задачи С4

Конструкция состоит из невесомых стержней 1, 2, …, 6, соединенных друг с другом (в узлах К и М) и с неподвижными опорами А, В, С, D шарнирами (рис. 4.10). В узлах К и М приложены силы и , образующие с координатными осями углы ₁, ₁, ₁ и ₂, ₂, ₂ соответственно (на рисунке показаны только углы ₁, ₁, ₁).

Дано: Р = 100 Н, ₁ = 60, ₁ = 60, ₁ = 45, Q = 50 H, ₂ = 45, ₂ = 60, ₂ = 60;  = 30,  = 60,  ≈ 74.

Определить: усилия в стержнях 1-6.

рис. 4.10

Решение:

1. Рассмотрим равновесие узла К, в котором сходятся стержни 1-3. на узел действуют сила и реакции стержней, которые направим по стержням от узла, считая стрежни растянутыми.

Составим уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:

(18)

(19)

(20)

Решив уравнения (18-20) при заданных числовых значениях силы Р и углов, получим: N₁ = 349 H, N₂ = –345 H, N₃ = 141 H.

2. Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют силы , стержней. При этом по закону о равенстве действия и противодействия реакция направлена противоположно , численно же: N′₂ = N₂.

Составим уравнения равновесия:

(21)

(22)

(23)

При определении проекций силы на оси х и у в уравнениях (21) и (22) удобно сначала найти проекцию этой силы на плоскость xOy (по величине ), а затем найденную проекцию на плоскость спроектировать на оси. Решив систему уравнений (21-23) и учитывая, что найдем, чему равны N₄, N₅, N₆.

Ответ: N₁ = 349 H; N₂ = –345 H; N₃ = 141 H; N₄ = 50 H; N₅ = 329 H; N₆ = –66 H. Знаки показывают, что стержни 2 и 6 сжаты; остальные — растянуты.