1.7. Момент силы относительно точки

Момент силы относительно точки характеризует вращательный эффект силы.

Момент силы относительно центра О равен векторному произведению радиуса вектора, проведенного из центра О в точку приложения силы, на вектор этой силы (рис. 15): .

Рис. 15

Величина момента: | | = | | | | sinα = | | h, где величина h — плечо силы (кратчайшее расстояние от центра О до линии действия силы). Понятие момента как вектора используется при решении пространственных задач.

Если все силы лежат в одной плоскости, то моменты сил будут направлены перпендикулярно этой плоскости. Поэтому в этом случае достаточно определения момента как алгебраической величины (т.е. величины со знаком): момент силы равен произведению силы на плечо и имеет знак (+), если сила поворачивает тело вокруг центра против часовой стрелки (рис. 16).

Рис. 16

Тогда: m_O( ) = F · h; m_O( ) = –F · h .

1.8. Теорема Вариньона

Теорема: если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра равен сумме моментов составляющих относительно того же центра.

Доказательство: пусть (рис. 17) система имеет равнодействующую . Приложим к телу силу = – , тогда система ~ 0, следовательно, сумма моментов всех сил системы относительно любого центра О будет равна 0, т.е.: = 0.

Рис. 17

но , тогда = 0. следовательно, = . Что и требовалось доказать.

1.9. Теорема о параллельном переносе силы

Теорема: силу можно переносить из данной точки в любую другую, добавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно новой точки приложения.

Доказательство: пусть в точке А (рис. 18) приложена сила

Рис. 18

Приложим в точке В силы и , равные, параллельные силе и направленные в противоположные стороны (это можно сделать по первой аксиоме). Тогда систему сил , , можно рассматривать как силу равную  и приложенную в точке В, и пару сил , момент которой равен моменту силы относительно точки В: ( , ) = = × . Что и требовалось доказать.

1.10. Основная теорема статики

Определение: главным вектором системы сил называется вектор, равный геометрической сумме сил системы: .

Определение: главным моментом системы относительно центра О называется вектор, равный геометрической сумме моментов всех сил системы относительно этого центра: .

Статика решает две задачи:

а) задача о равновесии (каким условиям должна удовлетворять система сил, для того чтобы тело под ее действием находилось в равновесии);

б) задача о приведении (как данную систему сил заменить другой, в частности заменить простой).

Вторую задачу статики решает основная теорема статики: любую систему сил можно заменить одной силой, равной главному вектору и приложенной в центре приведения, и одной парой сил с моментом, равным главному моменту относительно центра приведения.

Доказательство: пусть на тело (рис. 19) действует система сил . Выберем произвольно т. О — центр приведения. По теореме о параллельном переносе, каждую из сил можно перенести в центр О, добавив при этом соответствующую пару сил.

Рис. 19

В результате, перенеся все силы в точку О, получим систему сил, приложенных в т. О, и систему пар сил с моментами, равными моментам сил системы относительно центра О. Сложив все силы, приложенные к центру О, получим главный вектор системы . Сложив все моменты пар сил, получим главный момент . Таким образом, данную систему сил заменили одной силой и одной парой сил с моментом , что и требовалось доказать.