Задача № 2

В треугольнике АВС (А (0, -1, 1), В(а, 0, 3) и С(1, в -1, 0)) найти косинус угла А, площадь треугольника АВС .

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5.

Задача № 3

Найти объем пирамиды

SАВС (S(-1, 1, 0), А(а-1, 2, 2), В(1, 0, с), С(0, в+1, -1)).

1. ;

2. ;

3. .

1. Матрицы

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел

размера m * n .

а_ij - элемент матрицы А, который расположен в i -й и j - й строках,

например, а₃₁ = 1.

Умножение матрицы на число. Сложение, вычитание матриц

Произведение матриц

Пусть С = А * В. Элемент С_ij матрицы произведения вычисляется в результате скалярного произведения i - й строки матрицы А на j - й столбец матрицы В. Предполагается, что число элементов строки матрицы А совпадает с числом элементов столбца матрицы В, т. е. число столбцов матрицы А должно равняться числу строк матрицы В.

Замечание: А*В , вообще говоря, не равно В*А ( А*В В*А ).

Размер произведения определяется числом строк первого множителя и числом столбцов второго.

Квадратная матрица. Единичная матрица. Обратная матрица

Матрица называется квадратной, если число строк у нее совпадает с числом столбцов.

Квадратная матрица: называется единичной. Легко проверить, что AI = IA = A.

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к матрице А, если

А^-1 * А = А * А^-1 = I.

Пусть обратная матрица существует тогда и только тогда, когда определитель , и вычисляется по формуле

, где - определитель матрицы А.

Относительно А_ij см. раздел “Разложение определителя по строке или столбцу”.

Рассмотрим систему линейных уравнений: , ее можно

представить в следующем виде: или в матричной записи

Ах=в, где х= , в= .

Если для матрицы А существует обратная, то умножая слева обе части уравнения Ах=в на , получим в , т.к. I, то х= в или

= .Отсюда

является решением исходной системы линейных уравнений.

Такой способ решения системы линейных уравнений называется матричным.

Задача № 4

Для матриц:

, в= вычислить матрицу ,

АВ и обратную к ней. Решить уравнение Сх=в матричным способом.

1. Вычислим: = ;

2. Вычислим: ;

3. Вычислим: .

Если С  0, то матрица имеет обратную.

; ; ;

; ; ;

; ;

.

4. Решение уравнения Сх=в записывается следующим образом : х= в , т.е. .

Аналитическая геометрия основные сведения Прямая в r2

X₂

L

А(а₁а₂)

Общим уравнением прямой

является уравнение вида

М(х₁х₂)

А₁х₁ +А_2­х₂+В=0 . (14)

0

X₁



Если А₂ 0, то, разрешая (14)

относительно х₂­, получим

уравнение прямой с угловым коэффициентом:

. (15)

Геометрический смысл числа k состоит в том, что k = tg, где  - угол, образованный L с положительным направлением оси ОХ₁. У перпендикулярных прямых угловые коэффициенты равны (k₁ = k₂). У перпендикулярных прямых угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку . Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и проходящей через точку А(а₁, а₂), записывается в виде: х₂ - а₂ = k(х₁ - а_1­). (16)

Уравнение прямой, проходящей через две точки А(а₁, а₂) и В(в₁, в₂), имеет вид: . (17)

ЗАДАЧА № 5

Даны координаты вершин треугольника АВС: А(а, в), В(в, с), С(с, а).

Найти: 1) уравнение стороны ВС;