Задача № 6 Вычислить пределы:

1. ;

2. ;

3. ;

4. 

.

Производная функции

Производной функции f(x) называется предел .

Для производной используют и другие обозначения - .

Правила дифференцирования

Пусть U и V - дифференцируемые функции, т. е. для них существуют производные, с - константа.

1. (с) = 0;

2. (U + V) = U + V;

3. (UV) = UV + UV;

4. (CU) = CU;

5. ;

6. Пусть f(x) - дифференцируемая функция, тогда .

Производные основных элементарных функций

Производные высших порядков

Производной второго порядка называется производная от производной, производной третьего порядка называется производная от производной второго порядка и т. д.

Производная неявной функции

Говорят, что функция y = f(x) задана неявно, если она задана в виде уравнения f(x, y) = 0, неразрешенного относительно у . Например, х₂ + у₂ = ху. Для того, чтобы вычислить поступают следующим образом:

а) дифференцируют левую и правую части уравнения по переменной х, при этом переменную у считают функцией от х, например,

(х² + у²)_х = (ху)_х ; 2= + 2у * у = у + ху.

б) решают полученное уравнение относительно у, например,

2у * у - х у = у + 2х; у (2у - х) = у + 2х; .

Производная функции, заданной параметрически

Говорят, что функция у = f(x) задана параметрически, если она задана в виде системы уравнений: , t - параметр.

Например,

При дифференцировании функции, заданной параметрически, используют формулу .

Геометрический смысл производной: производная - тангенс угла наклона касательной:

У

Х



Механический смысл производной: производная - мгновенная скорость тела в заданный момент времени.

Дифференциал фунуции

Дифференциалом функции y = f(x) (обозначается dy, df(x)) называется главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента.

Если у функции y = f(x) существует неравная нулю производная, то

d f(x) = f(x)x . Например,

Основные свойства дифференциала:

dc = 0;	4. d(UV) = dU * V + U * dV;	7.
2. dx = x;	5. d(U ± V) = dU ± dV;
3. d(cU) = cdU;	6.

ЗАДАЧА № 7

1. Вычислить производную: ;

2. Вычислить производную второго порядка: ;

3. Найти производную функции, заданной неявно: ;

4. Найти производную функции, заданной параметрически: ;

1. ;

2. ;

3. ;

4.  .

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ.

Монотонность функции

Функция называется возрастающей (убывающей), если из х₁  х₂ следует, что f(x₁)  f(x₂) (f(x₁)  f(x₂)).

Достаточное условие возрастания (убывания) функции: если для любого х  (а, в) f(x)  0 (f(x)  0), то f(x) возрастает (убывает) на (а, в).

Экстремальные точки функции

Точка х₀ называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x), если существует  такое , что из х( х₀ -, х₀ + ), х х₀ следует

f(x) f(x₀) (f(x)  (x₀)).

Достаточное условие экстремальности точки

Если в точке х₀:

а) производная равна нулю или не существует;

б) при переходе через точку изменяется знак производной, то точка х₀ - экстремальная.

Если производная изменяет знак с плюса на минус, то точка х₀ - точка максимума, если с минуса на плюс, то х₀ - точка минимума.

Выпуклость, вогнутость функции. Точки перегиба

Функция у = f(x) называется выпуклой на (а, в), если для любых точек

х₁ и х₂ , принадлежащих интервалу (а, в), и любого   (0, 1) выполняется неравенство: .

Функция у = f(x) называется вогнутой на (а, в), если для любых точек

х₁ и х₂  (а, в) и любого   (0, 1) выполняется неравенство:

.

Точка х₀ называется точкой перегиба, если она отделяет интервал, на котором функция выпукла, от интервала, на котором функция вогнута.