Достаточное условие выпуклости (вогнутости) функции:

если вторая производная на интервале (а, в), то функция у = f(x) - выпукла (вогнута) на (а, в).

Достаточное условие для точки перегиба:

если в точке х₀ вторая производная или не существует и при переходе через точку х₀ изменяет свой знак, то точка х₀ - точка перегиба.

Асимптоты

Пусть точка А, перемещаясь по графику функции устремляется в бесконечность, если при этом расстояние между точкой и некоторой прямой стремятся к нулю, то эта прямая называется асимптотой.

Вертикальная асимптота.

А

d

d0

а

Для того, чтобы прямая х = а была вертикальной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

а) б)

Наклонная асимптота

Условия существования наклонной асимптоты

Для того, чтобы прямая у = kх + в была наклонной асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий:

а) б) .

При этом

.

План исследования функции:

1. Область определения функции.

2. Четность (нечетность) функции.

3. Периодичность.

4. Точки пересечения с осями.

5. Монотонность. Экстремальные точки.

6. Выпуклость (вогнутость) функции. Точки перегиба.

7. Асимптоты.

Задача № 8

Провести полное исследование функции и построить график.

1. Область определения: (х - с)² - 3  0; (х - с)²  3; х - с   3.

Следовательно, .

2. Точки пересечения с осями:

а) ось ОУ:

б) ось ОХ: y = 0 .

Поскольку решение кубического уравнения с параметрами выходит за пределы курса, то находить точки пересечения с осью ОХ не будем.

3. Четность, нечетность функции:

Рассмотрим и убедимся, что , функция не является нечетной, и - функция не является четной.

4. Функция не является периодической.

5. Монотонность, экстремальные точки:

Находим производную: .

Приравниваем производную к нулю: .

Отсюда находим три решения: х₁ = с - 3, х₂ = с, х₃ = с + 3.

Составляем таблицу:

х	f(x)	f(x)
( -, c - 3 )	+	
c - 3	0		Точка максимума
( c - 3, c - √3 )	-	
c - √3	Не определена	Не определена
( c - √3, c )	-	
c	0	в
( c, c + √3 )	-	
c + √3	Не определена	Не определена
( c + √3, c + 3 )	-	
c + 3	0		Точка минимума
( c + 3, + )	+	

6. Точки перегиба. Выпуклость, вогнутость функции.

Находим вторую производную: .

Приравниваем ее к нулю: 6а(х - с)((х - с)² + 9)=0; ((х - с)² - 3 )³  0.

Получаем единственное решение х = с и составляем таблицу:

х	f(x)	f(x)
( -, c - √ 3 )	-
c - √3	Не определена	Не определена
( c - √3, c )	+
c	0	в	Точка перегиба
( c, c + √3 )	-
c + √3	Не определена	Не определена
(c + √3,+)	+