2. Построение математической модели

Процесс построения математической модели для решения поставленной задачи нужно начать с ответов на три следующие вопроса:

1. Для определения, каких величин должна быть построена модель?

2. Какие ограничения должны быть наложены на переменные, чтобы выполнялись условия, характерные для моделируемой системы?

3. В чем состоит цель, для достижения которой из всех допустимых значений переменных нужно выбрать те, которые будут соответствовать оптимальному (наилучшему) решению задачи?

Переменные. Так как нужно определить объемы производства каждого вида краски, переменными в модели являются: х₁ - суточный объем производства краски для наружных работ (№ 1), х₂ - суточный объем производства краски для внутренних работ (№ 2).

Целевая функция. Так как прибыль от реализации 1 т краски №1 равна 3 тысячам денежных единиц, суточный доход от ее продажи составит 3х₁ тысячам денежных единиц. Аналогично доход от реализации х₂ тонн краски № 2 составит 2х₂ тысячам денежных единиц в сутки. При допущении независимости объемов сбыта каждой из красок общий доход равен сумме двух слагаемых - дохода от продажи краски № 1 и дохода от продажи краски № 2.

Обозначив общий доход (в тысячах денежных единиц) через W, можно дать следующую математическую формулировку целевой функции: определить (допустимые) значения х₁ и х₂, максимизирующие величину общего дохода W = 3х₁+2х₂.

0граничения. При решении рассматриваемой задачи должны быть учтены ограничения на расход исходных продуктов и спрос на изготовляемые краски. Ограничение на расход исходных продуктов можно сформулировать следующим образом: Расход исходного продукта максимально возможный для производства обоих видов краски меньше или равно запас данного исходного продукта.

Это приводит к следующим двум ограничениям:

х₁ + 2 х₂  6 (для А), 2 х₁ + х₂  8 (для В).

Ограничения на величину спроса на продукцию можно сформулировать следующим образом: Превышение спроса на краску № 1 относительно спроса на краску № 2 меньше или равно 1 тонна/сутки. Спрос на краску № 2 меньше или равен 2 тонны/сутки.

Математически эти ограничения записываются следующим образом: х₂ - х₁  1 (соотношение величин спроса на краску № 1 и краску № 2), х₂  2 (максимальная величина спроса на краску № 2).

Неявное (т. е. “подразумеваемое”) ограничение заключается в том, что объемы производства продукции не могут принимать отрицательных значений (т. е. быть меньше нуля). Чтобы предотвратить получение таких недопустимых решений, потребуем выполнения условия не отрицательности переменных, т. е. введем ограничения на их знак:

х₁  0 (объем производства краски № 1), х₂  0 (объем производства краски № 2).

Итак, математическую модель можно записать следующим образом. Определить суточные объемы производства (х₁ и х₂) краски № 1 и краски № 2 (в тоннах), при которых достигается:

максимизировать W = 3 x₁ +2х₂ (целевая функция) (3)

при ограничениях:

х₁ + 2 х₂  6 (4) 2х₁ + х₂  8 (5) -х₁ + х₂  1 (6) х₂  2 (7) х₁  0, х₂  0 (8)