4.2 Использование математических методов в исследованиях

Решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется путем математической формулировки задачи (разработки математической модели), выбора метода проведения исследования полученной математической модели, анализа полученного математического результата. Математическая формулировка задачи обычно представляется в виде чисел, геометрических образов, функций, систем уравнений и т. п. Описание объекта (явления) может быть представлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированной или стохастической и другими математическими формами.

Математическая модель представляет собой систему математических соотношений — формул, функций, уравнений, систем уравнений, структурных схем описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса. Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования, задание критериев (признаков) изучения объектов и управления ими. Неправильная или неполная постановка задачи может свести на нет результаты всех последующих этапов. Весьма важным на этом этапе является установление границ области влияния изучаемого объекта. Границы области влияния объекта определяются областью значимого взаимодействия с внешними объектами. Данная область может быть определена на основе следующих признаков: границы области охватывают те элементы, воздействие которых на исследуемый объект не равно нулю; за этими границами действие исследуемого объекта на внешние объекты стремится к нулю. Учет области влияния объекта при математическом моделировании позволяет включить в эту модель все существенные факторы и рассматривать моделируемую систему как замкнутую, т. е., с известной степенью приближения, независимую от внешней среды. Последнее значительно упрощает математическое исследование. Следующим этапом моделирования является выбор типа математической модели. Выбор типа математической модели является важнейшим моментом, определяющим направление всего исследования. Обычно последовательно строится несколько моделей. Сравнение результатов их исследования с реальностью позволяет установить наилучшую из них. На этапе выбора типа математической модели при помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминированности исследуемого объекта или процесса. Линейность устанавливается по характеру статической характеристики исследуемого объекта. Под статической характеристикой объекта понимается связь между величиной внешнего воздействия на объект (величиной входного сигнала) и максимальной величиной его реак­ции на внешнее воздействие (максимальной амплитудой выходной характеристики системы). Под выходной ха­рактеристикой системы понимается изменение выходного сигнала системы во времени. Если статическая характе­ристика исследуемого объекта оказывается линейной, то моделирование этого объекта осуществляется с исполь­зованием линейных функций. Нелинейность статической характеристики и наличие запаздывания в реагировании объекта на внешнее воздействие являются яркими приз­наками нелинейности объекта. В этом случае для его моделирования должна быть принята нелинейная мате­матическая модель.

Применение линейной математической модели зна­чительно упрощает ее дальнейший анализ, поскольку та­кая модель позволяет пользоваться принципом суперпо­зиции. Принцип суперпозиции утверждает, что когда на линейную систему воздействуют несколько входных сиг­налов, то каждый из них фильтруется системой так, как будто никакие другие сигналы на нее не действуют. Об­щий выходной сигнал линейной системы по принципу суперпозиции образуется в результате суммирования ее реакции на каждый входной сигнал.

Установление динамичности или статичности осуще­ствляется по поведению исследуемых показателей объек­та во времени. Применительно к детерминированной си­стеме можно говорить о статичности или динамичности по характеру ее выходной характеристики. Если среднее арифметическое значение выходного сигнала по разным отрезкам времени не выходит за допустимые пределы, определяемые точностью методики измерения исследуе­мого показателя, то это свидетельствует о статичности объекта. Применительно к вероятностным системам их статичность устанавливается по изменчивости уровня ее относительной организации. Если изменчивость этого уровня не превышает допустимые пределы, то система определяется как статичная.

Весьма важным является выбор отрезков времени, на которых устанавливается статичность или динамич­ность объекта. Если объект на малых отрезках времени оказался статичным, то при увеличении этих отрезков результат не изменится. Если же статичность установле­на для крупных отрезков времени, то при их уменьшении результат может измениться и статичность объекта может перейти в динамичность.