4.3Аналитические методы

Вторым этапом решения практических задач математи­ческими методами является выбор метода исследования модели. Выбор метода исследования математической модели непосредственно связан с такими понятиями, как внешнее и внутреннее правдоподобие исследования. Под внешним правдоподобием исследования понима­ется ожидаемая степень адекватности математической модели реальному объекту по интересующим исследо­вателя свойствам. Под внутренним правдоподобием исследования по­нимается ожидаемая степень точности решения получен­ных уравнений, которые приняты за математическую мо­дель объекта. Если вид модели уже выбран, то внешнее правдопо­добие модели считается фиксированным и выбор мето­да исследования будет целиком определяться необходи­мой степенью внутреннего правдоподобия.

В подавляющем большинстве случаев при выборе метода исследования руководствуются принципом соот­ветствия внешнего и внутреннего правдоподобия, ана­логичным известному правилу приближенных вычисле­ний: степень точности вычислений должна соответство­вать степени точности исходных данных. Однако в зави­симости от условий и задач исследования возможны от­клонения от принципа. Перечислим некоторые из них:

1) если речь идет о разработке нового единого мето­да исследований, который предполагается применять к широкому, заранее не фиксированному, классу моделей, то нужно стремиться к максимальному внутреннему правдоподобию исследования независимо от уровня внешнего правдоподобия;

2)если осуществляется проверка внешнего, подобия модели, то внутреннее правдоподобие избранного метода проверки должно быть максимальным;

3)если модель настолько проста, что для нее легко получить точное решение, то искусственно понижать строгость решения бессмысленно.

В других случаях предпочтение отдается «принципу равного правдоподобия».

Выбор метода исследования тем эффективнее, чем больше имеется сведений о конечном решении задачи. Такие сведения могут быть получены путем прикидочных исследований модели или ее элементов. В процессе прикидочных исследований осуществля­ется сравнение величии отдельных членов уравнений в изучаемом диапазоне изменения переменных и пара­метров задачи. Относительно малые слагаемые отбра­сываются, нелинейные зависимости заменяются на линейные. Некоторые из компонентов модели аппроксими­руются грубыми уравнениями. Все это позволяет быстро получить грубое решение задачи. Знание, хотя бы самое грубое, качественных и коли­чественных характеристик искомого решения помогает при выборе точности метода исследования. Иногда да­же грубое решение оказывается достаточным. В качест­ве примера можно привести задачу о поиске экспериментального значения функции. Если точка экстремума является стационарной, то даже грубая ошибка в ее отыскании мало скажется на подсчете этого значения. Поэтому применение высокоточных методов поиска та­кого экстремума нерационально. Громоздкие точные вычисления в этом случае создают лишь иллюзию точнос­ти. В случае применения грубой математической модели не следует применять громоздкие вычислительные методы.