Ііі. Робоче завдання

1. Знайти велику піввісь обертання комети та період її обертання навколо Сонця за заданими елементами її еліптичної орбіти.

2. Знайти величину радіус-векторів r (відстаней комети від Сонця) у вузлах її орбіти.

3. Знайти величини радіус-векторів в точках орбіти, де істина аномалія тобто де r = p (p – фокальний параметр).

4. Знайти величини радіус-векторів r і істинної аномалії в моменти часу: за 200 діб до проходження перигелію і через 200 діб після проходження перигелію. Визначити число, місяць та рік, коли комета перебуває в цих точках.

5. Визначити число, місяць та рік, коли комета знаходиться у низхідному вузлі орбіти та коли її радіус-вектор дорівнює фокальному параметру, тобто, коли r = p.

6. Побудувати частину геліоцентричної еліптичної орбіти комети та її проекцію на площину екліптики, використавши результати робочих завдань: 2, 3, 4, 5.

7. Обчислити швидкість комети в перигелії, афелії, в точках, де r = p, у спадному та висхідному вузлах своєї орбіти.

8. Визначити число, місяць та рік, коли Земля буде знаходитися в області низхідного вузла орбіти.

IV. Контрольні питання

1. Елементи еліптичної орбіти.

2. Поняття про задачу двох тіл і задачу трьох тіл небесної механіки.

3. Уточнений перший і другий закони Кеплера.

4. Уточнений третій закон Кеплера.

5. Поняття істинної, ексцентричної та сферичної аномалії при еліптичному русі та їх геометричний зміст.

6. Зв'язок між аномаліями. Рівняння Кеплера.

7. Визначення ефемерид небесних тіл і метод послідовних наближень.

V. Підготовка до роботи

1. Підготувати міліметровий папір для графічного зображення частини геліоцентричної еліптичної орбіти та її проекції на площину екліптики.

2. Підготувати калькулятор для розрахунків.

3. Уважно ознайомитися з методичними вказівками.

4. Вивчити теоретичний матеріал і підготувати відповіді на контрольні питання.

VI. Методичні вказівки

1. В таблиці 1 (див. додатки) дано величину перигелійної відстані q, яка визначається за виразом , звідки . Значення а отримаємо в астрономічних одиницях. З третього закону Кеплера , при цьому результат отримується в роках.

2. Радіус-вектори точок орбіти обраховуються за виразом рівняння еліпса (20^а). Для висхідного вузла взяти , а для низхідного вузла . Результати отримуються в астрономічних одиницях.

3. Величини радіус-векторів в даному випадку визначимо як (див. (20^а)). Значення отримаємо в астрономічних одиницях.

4. Виконання цього завдання проводимо в декілька етапів:

а) знаходимо середню аномалію М за виразом (21), приймаючи що . Період Т обертання комети вже знайдено в завданні 1, але його потрібно представити в добах, помноживши на 365,24^d в одному році. Результат отримується в градусах з точністю до шести знаків;

б) з рівняння Кеплера (31) одержуємо ексцентричну аномалію Е, використавши метод наближень Ньютона і виконавши ряд ітерацій за виразом (32). При ітерації зупиняємо. Результат одержимо в градусах. Для спрощення підрахунків взяти ;

в) знаючи ексцентричну аномалію Е можна за виразом (24) обрахувати радіус-вектор у заданих точках. Результат отримується в астрономічних одиницях. Величина q і е в таблиці 1 (див. додатки);

г) обчислення істинної аномалії виконуємо за виразом (28), одержавши і . Результат одержується в градусах;

д) момент часу за 200^d до проходження перигелію визначається відносно дати 1,13456 квітня 1997 р. Цей момент потрібно виразити в юліанських днях (таблиця 2, див. додатки) відняти від одержаного значення 200^d і одержати результат в юліанських днях. Виконавши знову перехід до календарної дати маємо результат: число, місяць, рік. Такі ж розрахунки виконати для моменту .

5. Завдання доцільно виконувати такими етапами:

а) радіус-вектор r у низхідному вузлі орбіти вже знайдено в завданні 2. Тепер обраховуємо величину ексцентричної аномалії Е в низхідному вузлі за виразом (24) і даними таблиці 1 (див. додатки). Результат одержуємо в градусах;

б) з рівняння Кеплера (31) знаходимо середню аномалію М у низхідному вузлі, взявши до уваги, що величина esinE в виразі (31) представлена в радіанній мірі і тому її потрібно помножити на (значення одного радіанта), тоді результат для М одержимо в градусах;

в) далі за виразом (21) знаходимо дату t₁=t проходження комети через низхідний вузол орбіти. Момент t₀ = 1,13453 квітня 1996 р. потрібно виразити в юліанських днях. Одержимо результат теж в юліанських днях, але його потрібно привести до календарної дати;

г) щоб визначити дату, коли комета матиме радіус-вектор, який дорівнює фокальному параметру r = p, потрібно згадати, що така рівність можлива, коли істинна аномалія приймає значення 90⁰ або 270⁰. З виразу (28) знаходимо значення ексцентричної аномалії Е в градусах;

д) далі з рівняння Кеплера (31) визначимо величину середньої аномалії М, враховуючи, що величину esinE потрібно помножити на , щоб одержувати значення М в градусах;

е) за виразом (21) обраховуємо різницю . Ця різниця показує кількість днів до перигелію і після нього. Тоді , . Використовуючи для квітня 1997 р. і перехід до юліанських днів одержимо дві дати спочатку в юліанських днях, а потім в календарних датах.

6. Побудову доцільно виконати на міліметровому папері. Оскільки площина орбіти комети майже перпендикулярна до площини екліптики (і = 89⁰, таблиця 1 див. додатки), то в площину аркуша міліметрового паперу «кладемо» площину орбіти комети. Для побудови обираємо напрям лінії вузлів, як прямої, яка поділить графічне поле приблизно навпіл. На цій лінії обирається точка фокуса, від якої відкладається значення радіус-вектора r під час проходження комети через точку висхідного вузла і значення r - під час проходження через точку спадного вузла. Величини r і r визначені в завданні 2. В одержаних точках підписуємо дати перебування комети в них, визначенні в завданні 5. Побудову виконати повністю по всіх завданнях. Для прикладу дивись рис. 4.

7. Потрібно обчислити п’ять значень швидкості за відомою формулою:

,

з якої результати одержимо в км/с, якщо a і r брати в астрономічних одиницях.

8. Земля знаходиться в точці весняного рівнодення  не як Сонце 23 березня, а в діаметрально протилежній даті, тобто в даті осіннього рівнодення 22 вересня. Потрібно виписати з астрономічного календаря дати знаходження Сонця в точках весняного  і осіннього  рівнодень та точках літнього  і зимового  сонцестоянь. Тоді, якщо Сонце знаходиться в точці , то в цей момент Земля в точці  тощо. Оскільки за даними таблиці 1 (див. додатки) маємо геліоцентричну довготу висхідного вузла , то різниця між напрямами лінії вузлів та прямої, яка сполучає точки сонцестоянь може бути визначена (рис. 5, див додатки). Пам’ятаємо, що Земля за добу проходить  1⁰ по орбіті.

VII. Зміст звіту

1. Протокол лабораторної роботи.

2. Результати підрахунків для кожного робочого завдання.

3. Графічне зображення частини геліоцентричної еліптичної орбіти планети з проекцією на площину екліптики.

4. Аналіз отриманих результатів по кожному робочому завданню з обґрунтуванням одиниць вимірювань в них.

5. Висновок про виконану роботу.