2.3. Функціональний простір сигналів

Вибірка лише в N точках повторює функцію . При зростанні N за рахунок зменшення кроку дискретизації T вибірка все ближче наближається до базового аналогового сигналу заданого на інтервалі , а відповідно точка N-вимірного векторного простору при займає деяке граничне положення. Тому, ми можемо говорити про функціональний простір сигналів. При вибірка переходить у функцію, що задана на відрізку , а сума переходить в інтеграл:

, .

Тоді норма сигналу згідно (2.5) дорівнює

. (2.10)

Метрика як відстань між сигналами і згідно (2.6) дорівнює:

. (2.11)

Скалярний добуток двох функцій згідно (2.7) визначається так:

. (2.12)

Кут між двома сигналами дорівнює:

. (2.13)

2.4. Енергетичні характеристики сигналів

Відомі із фізики поняття потужності, енергії та середньої потужності електричного сигналу узагальнюють на аналогові сигнали довільної фізичної природи. Ці характеристики визначаються шляхом виконання певних математичних дій над функцією , яка є математичною моделлю сигналу:

1. Миттєва потужність сигналу :

. (2.14)

2. Енергія Е сигналу за час його дії на інтервалі :

а) якщо дійсна функція,

; (2.15)

б) якщо комплексна функція,

, (2.16)

де – комплексно-спряжена функція до функції .

3. Середня потужність дійсного сигналу :

а) якщо скінчений сигнал (імпульс),

; (2.17)

б) якщо нескінчений періодичний сигнал з періодом ,

; (2.18)

в) якщо нескінчений неперіодичний сигнал,

. (2.19)

4. Середньоквадратичне (діюче) значення сигналу

. (2.20)

5. Взаємна енергія двох сигналів та на інтервалі :

а) якщо сигнали дійсні,

; (2.21)

б) якщо сигнали комплексні,

. (2.22)

6. Взаємна потужність двох сигналів та на інтервалі часу :

, . (2.23)

2.5. Залежність скалярного добутку сигналів від їх норми

Норму сигналу як його кількісну характеристику можна ввести по-різному.

Якщо норму сигналу ввести як корінь квадратний із його повної енергії:

, (2.24)

то скалярний добуток двох сигналів визначається формулою (2.14), а відстань та кут між двома сигналами визначають відповідно формулами (2.11) та (2.13). Раніше саме таким найпростішим чином вводили норму. Але при цьому можна працювати лише з тими сигналами, що мають скінчене значення енергії. За межами кількісної оцінки залишаються сигнали з нескінченим значенням енергії. Нескінчену енергію має, наприклад, гармоніка, яка широко використовується як еталонний сигнал.

Щоб розширити коло нормованих сигналів, в якості норми беруть середньоквадратичне значення сигналу:

, (2.25)

де середня потужність деяких нескінчених сигналів може бути знайдена згідно формул (2.18) чи (2.19), при умові, що їх інтеграли існують, навіть коли інтеграл (2.16) нескінчений.

Кут між сигналами не повинен залежати від вибору норми. Тому повинна виконуватись рівність:

.

Це означає, що при нормі скалярний добуток двох сигналів дорівнює

,

а при нормі скалярний добуток двох сигналів визначається формулою:

. (2.26)

При цьому маємо інваріантну форму визначення кута між сигналами

. (2.27)

Для імпульсів простіше вводити норму згідно (2.24), а в загальному випадку її вводять згідно (2.25). Саме тому, хоча вибірка є обмеженим в часі сигналом, як правило, її норма визначається формулою

. (2.28)