Висновки

• Сигнал є носієм інформації. Незалежно від своєї фізичної природи він розглядається як математичний об’єкт і, в першу чергу, як функція часу.

• В цифровій обробці кожний сигнал представлений своєю дискретною вибіркою об’ємом N, тобто N-вимірним вектором. Це дозволяє вибудувати векторний простір N-вимірних вибірок зі своєю нормою і метрикою та порівнювати їх за величиною і напрямком.

• Граничний перехід при дозволяє вибудувати функціональний простір сигналів із своєю нормою і метрикою, що дозволяє порівнювати сигнали за величиною і напрямком.

• Характеристики сигналів як кількісні оцінки вводяться шляхом певних математичних операцій. Найчастіше це інтегральні характеристики, серед яких виділимо середню потужність сигналу. Важливим є поняття скалярного добутку сигналів та визначення кута між сигналами.

• Сигнали доводиться розглядати зміщеними в часі. Зміщення можна врахувати за допомогою параметра шляхом зміни аргументу незміщеного сигналу. Сигнал описує зміщений в точку відносно початку координат сигнал . При > 0 має місце запізнення сигналу на величину , а при < 0 має місце випередження сигналу на величину .

• Зміщений дискретний сигнал записується у вигляді . Параметр m можна розглядати як координату n = m, в яку змістилась точка n = 0 початкового сигналу . При m > 0 має місце запізнення на відліків, при m < 0 має місце випередження на відліків.

• В ЦОС широко використовуються типові та особливі сигнали: гармоніка, комплексно-експоненціальний сигнал, послідовності імпульсів та інші кусково-неперервні сигнали. Особливу роль відіграють функція одиничного стрибка і дельта-функція та їх дискретні аналоги: цифровий одиничний стрибок і цифровий одиничний імпульс .

• Функції і проявляють себе як функції вмикання. Функції і відрізняються фільтрувальною властивістю.

2.8. Приклади

Приклад 2.1. Дано графічне зображення одиничного прямокутного імпульсу (рис. 2.28). Він має амплітуду А та тривалість . Записати в аналітичній формі математичну модель цього імпульсу та зміщених в сторону випередження та запізнення його копій.

Розв’язування. З рисунку видно, що сигнал є кусково-неперервною функцією, що складається із трьох ділянок. Кожна ділянка має свій аналітичний вираз. Тому математична модель сигналу

(1)

Рис. 2.28. Графік сигналу

Тут − додатне число, тому , . Запишемо загальну формулу зміщеного сигналу

(2)

При сигнал йде із запізненням (рис. 2.29), а при − із випередженням (рис. 2.30).

Рис. 2.29. Графік сигналу Рис. 2.30. Графік сигналу

із запізненням із випередженням

Математичну модель незміщеного одиночного прямокутного імпульсу можна записати у вигляді єдиного аналітичного виразу, якщо використати функцію включення :

. (3)

Варто перевірити вірність цієї формули. Нагадуємо, що − додатне число. Якщо , то , а це означає, що . Тим більш , а тому також і . Отже, , що відповідає рівнянню (1). Якщо , то , тому . А ось , тому . Підставляємо ці значення функції включення в формулу (3) одержимо, що . Це відповідає формулі (1). Нарешті, розглянемо випадок, коли . При цьому , тому , , тому . Тоді . Отже, формула (3) відповідає формулі (1).

Для зміщених сигналів формула (3) набуває вигляду:

, (4)

де − дійсне число. При > 0 мова йде про затримку сигналу, а при < 0 − про випередження.

Приклад 2.2. Сигнал складається із трьох прямокутних одиничних імпульсів (рис. 2.31). Всі імпульси однакові, але зміщені між собою. Задати сигнал у вигляді аналітичного виразу.

Рис. 2.31. Графік сигналу

Розв’язування. Незміщений сигнал запишемо у вигляді

. (1)

Тоді сигнал, що йде з випередженням

, (2)

а сигнал, що йде з запізненням

. (3)

Отже, сигнал можна записати так

.

Використовуючи для запису зміщеного сигналу вираз , де вже алгебраїчна величина, дану суму можна записати достатньо компактно:

, (4)

де n = 1, 0, +1.

Значення n = 1 береться для сигналу , n = 0 − для сигналу , n = 1 − для сигналу .

Приклад 2.3. На рис. 2.32 зображена періодична послідовність прямокутних одиничних імпульсів. Задати послідовність у вигляді аналітичного виразу.

Рис. 2.32. Графік імпульсів

Розв’язування. Скористаємося формулою (4) прикладу 2.2, враховуючи, що в даній задачі основний період дорівнює . Отже

. (1)

Застосувавши функцію включення, математичну модель послідовності імпульсів вдалось записати у вигляді компактного аналітичного виразу.

Приклад 2.4. На рис. 2.33 зображені однакові відеоімпульси, що зміщені між собою. Незміщений відеоімпульс аналітично задається виразом

, (1)

де f (t) − деяка неперервна функція, на яку діють дві зміщені функції включення. Знаючи S(t), записати аналітичну формулу сигналів S₁(t) та S₂(t).

Рис. 2.33. Графік відеоімпульсів

Розв’язування. В загальному випадку аналітичний вираз зміщеного сигналу повинен врахувати зміщення функції , межі визначення якої не задані, та двох функцій включення.

Розглянемо спочатку сигнал . Координата осі цього відео імпульсу . Тому

.

Аналогічним чином розглядаємо сигнал . Тепер уже . Тому

.

Приклад 2.5. Дано графічне зображення сигналу (рис. 2.34). Записати математичну модель в аналітичній формі як кусково-неперервну функцію, а потім у вигляді одного аналітичного виразу.

Рис. 2.34. Графік сигналу Рис. 2.35. Графік сигналу

Розв’язування. Функція кусково-неперервна, що має три характерні ділянки, аналітичні вирази яких мають вигляд:

Рівняння на відрізку можна одержати із пропорції .

Задане графічне зображення (рис. 2.34) сигналу при подамо як суму двох лінійних сигналів та з однаковими за модулем, але різним за знаком значенням кута  (рис. 2.35).

Визначимо функції та , використовуючи функцію вмикання:

, ;

, .

Знаходимо функцію :

.

Отже, сигнал поданий у вигляді одного аналітичного виразу.

П

Рис. 2.36. Відеоімпульс

риклад 2.6. Відеоімпульс (рис. 2.36) має форму рівнобедреного трикутника і розміщений симетрично відносно початку відліку часу. Записати в аналітичній формі математичну модель цього відеоімпульсу та зміщених в часі його копій.

Розв’язування. Якщо трикутний імпульс розглядати як кусково-неперервну функцію, то вона складається із чотирьох характерних ділянок. при , де − додатне число. При сигнал є відрізком прямої, що з’єднує точку ( ) та точку (0, А). Легко перевірити, що відповідає цій умові. При сигнал є відрізком прямої, що з’єднує точку (0, А) та точку ( ). Це буде функція . На четвертій ділянці при сигнал . Таким чином математична модель кусково-неперервної функції задається виразом

(1)

Якщо використати функції включення, то аналітична модель трикутного імпульсу має вигляд

. (2)

Розкриття дужок формули (2) не призведе до помітних спрощень.

Для зміщених сигналів формула набуває вигляду

(3)

,

де − дійсне число. При > 0 мова йде про затримку сигналу, а при < 0 − про випередження. Формула (3) визначена на всій осі часу.

Приклад 2.7. На рис. 2.37 зображена періодична послідовність трикутних імпульсів. Задати послідовність у вигляді аналітичного виразу.

Рис. 2.37. Графік сигналу

Розв’язування. Скористаємося формулою (3) прикладу 2.6. Параметр − основний період послідовності. Послідовність запишемо у вигляді суми

(1)

.

Отже, одержали аналітичний вираз періодичної послідовності трикутних імпульсів, що визначений на всій осі часу.

Приклад 2.8. Обчислити інтеграл .

Розв’язування. Згідно фільтрувальній властивості дельта-функції

.

Так як , , то .

Отже,

.

Приклад 2.9. Обчислити інтеграл .

Розв’язування. 

.

Приклад 2.10. Задано трикутний імпульс напруги з амплітудою U. Тривалість імпульсу (рис. 2.38). Обчислити енергію та відповідну норму заданого сигналу .

Р

Рис. 2.38. Трикутний імпульс

озв’язування. Математичну модель сигналу запишемо у вигляді аналітичного виразу:

Енергія сигналу (імпульсу):

.

Відповідна даній енергії норма імпульсу

.

Приклад 2.11. Визначити енергію та відповідну норму радіоімпульсу з прямокутною формою огинаючої. Радіоімпульс існує на інтервалі і описується функцією .

Довідка. Для здійснення передачі сигналу на значні відстані без суттєвих втрат інформації, його помножують на високочастотну гармоніку , тобто передають у вигляді високочастотної гармоніки із змінною амплітудою . Після передачі сигналу , який називають радіоімпульсом, його фільтрують і знов одержують сигнал , який називають відеоімпульсом. Проілюструємо це у вигляді графіків (рис. 2.39).

Рис. 2.39. 

Розв’язування. Так як радіоімпульс має сталу амплітуду U₀, то він має прямокутну форму, що визначається огинаючими U = ±U₀ (рис. 2.40).

Рис. 2.40.

Визначимо енергію радіоімпульсу:

.

Тут була здійснена заміна , тому , а . Якщо w₀ достатньо велике, таке що , то енергія радіоімпульсу

.

Тобто значення енергії радіоімпульсу при високій частоті несучої гармоніки практично не залежить від початкової фази та самого значення . Звідси особлива роль енергетичної характеристики.

Норма радіоімпульсу

.

Зауваження. При визначенні інтегралу скористались його табличним значенням.

Корисно запам’ятати, що

;

.

Приклад 2.12. Задано відеоімпульс у вигляді півперіоду синусоїди на відрізку , висота якого U (рис. 2.41).

Підібрати амплітуду А прямокутного імпульсу тієї ж тривалості T_S так, щоб відстань між двома сигналами та була мінімальною. Знайти при цьому кут між сигналами.

Рис. 2.41. Відеоімпульс

Розв’язування. Аналітичну форму сигналів запишемо у вигляді

При визначенні на інтервалі була використана пропорція

.

Знайдемо квадрат відстані між сигналами:

.

Обчислимо кожний із трьох інтегралів окремо.

.

.

.

Отже,

. (1)

Умова мінімальної відстані в залежності від А має вигляд

.

Звідки

. (2)

Визначимо , підставивши (1) в (2).

.

.

Знайдемо енергію імпульсів:

;

;

.

Визначимо норми сигналів:

; .

Знайдемо кут між сигналами

.

Отже, .

Приклад 2.13. Дано дві тривимірні вибірки: x (n) = (4; −4; 7) та y (n) = (3; −2; 6). Знайти відстань і кут між вибірками та складову вибірки х в напрямку вибірки у.

Розв’язування. Вибірку ототожнюємо із тривимірними векторами. Визначимо норми вибірок:

.

.

Знайдемо відстань між вибірками як їх метрику

.

Скалярний добуток вибірок

.

Знайдемо кут між вибірками

.

Одиничний вектор в напрямку вибірки y:

.

Тому, складова вибірки x в напрямку вибірки y дорівнює:

.

Приклад 2.14. Сигнали та прямокутні відеоімпульси з амплітудами А₁ та А₂, тривалості Т₁ та Т₂ зображені на рис. 2.42. Обидва сигнали одночасно відрізняються від нуля на інтервалі . Визначити кут між сигналами.

Рис. 2.42. 

Розв’язування. Спочатку знайдено скалярний добуток сигналів:

.

Визначимо норми сигналів:

;

.

Визначимо кут між сигналами:

.

Як бачимо, величина кута між прямокутними імпульсами не залежить від їх амплітуд А₁ та А₂.

Приклад 2.15. Задані два сигнали: прямокутний відеоімпульс та експоненціальний відеоімпульс Вважаючи тривалість Т прямо­кутного імпульсу фіксованою, визначити величину метрики .

Розв’язування. Знайдемо квадрат відстані між сигналами:

.

.

.

.

Отже,

.

Величина метрики як відстань між сигналами дорівнює

.