2.7. Типові та особливі сигнали

У цифровій обробці сигналів широко використовують типові сигнали, з допомогою яких здійснюють аналіз структури більш складних сигналів, визначають характеристики лінійних та нелінійних систем, здійснюють основні операції ЦОС, тощо. Тому ці типові сигнали ще називають еталонними або тестовими.

Серед неперервних (аналогових) сигналів еталонним, в першу чергу, є гармонічний сигнал та комплексно-експоненціальний сигнал . Ці сигнали теоретично нескінченної тривалості. Серед сигналів скінченної дії широко застосовуються імпульси різної форми. Послідовність імпульсів відноситься до кусково-неперервних сигналів. Неперервність та гладкість таких сигналів забезпечується на окремих інтервалах часу. Найпростішими кусково-неперервними сигналами є функція знаку та функція одиничного стрибка . До останньої примикає особлива дельта-функція , яка є дискретною функцією, що визначена в одній точці, при значенні аргументу t = 0. Серед дискретних сигналів, у першу чергу, вкажемо на дискретну гармоніку, цифровий одиничний стрибок та цифровий одиничний імпульс .

2.7.1. Гармонічні сигнали

Найчастіше гармонічний сигнал записують у вигляді косинусоїди. Її зручно записати наступним чином:

, (2.29)

де А – амплітуда;  – кругова частота, ;  – початкова фаза.

Три константи А, , визначають все сімейство гармонік. Конкретним значенням цих констант відповідає конкретна гармоніка. У загальному випадку А, і приймають будь-які значення із поля дійсних чисел.

Фазовий кут зручно вважати алгебраїчною величиною, що відповідає певному напрямку його відліку. При напрямок осі часу t співпадає з напрямком фазового кута. Біжуча фаза гармоніки

. (2.30)

При біжуча фаза гармоніки є початковою:

. (2.31)

При значенні косинусоїда незміщена. На рис. 2.8 вона зображена тонкою лінією. Якщо початкова фаза , то , а це означає, що гармоніка випереджає гармоніку на величину (рис. 2.8). Зміщення при випередженні здійснюється проти напрямку осі t чи осі фазового кута .

Рис. 2.8. 

При , значення і тоді, згідно (2.29), гармоніка запізнюється на . Теоретично гармоніка задана на всій числовій осі і не обмежена в часі. При зміні фазового кута на ціле число повних обертів вона повторює свої значення. Тому гармоніка періодична функція. У періодичної функції безліч періодів. Основний період , який є найменшим серед всіх додатних значень, визначається рівнянням

.

Звідки

. (2.32)

Достатньо знати кругову частоту , щоб визначити період .

Якщо ж задаватись періодом , то можна знайти відповідну кругову частоту

. (2.33)

Побудуємо графік біжучої фази . Згідно рівнянню (2.30) це лінійна функція при сталій круговій частоті . Графіки головного значення фазового кута гармоніки та фазового кута гармоніки зображено на рис. 2.9. Нагадаємо, що головне значення фазового кута лежить в межах , а .

Рис. 2.9. 

Кутовий коефіцієнт обох біжучих фаз .

Тепер розглянемо синусоїду, яка іде із запізненням на кут :

. (2.34)

Графік цієї гармоніки зображено на рис. 2.10 і це є графік синусоїди.

Рис. 2.10. 

Дійсно

.

Тому, гармоніку можна записувати і у вигляді синусоїди

. (2.35)

Синусоїда непарна функція: . Отже, якщо аргументом гармоніки є фазовий кут , то вона є парною функцією, якщо розглядається як косинусоїда, або вона є непарною функцією, якщо розглядається як синусоїда. Ці твердження втрачають силу, якщо аргументом є час t, а початкова фаза . Дійсно, так як , то

.

Довільну косинусоїду представлено як суму незміщених косинусоїди та синусоїди. Змінивши знак аргументу t одержимо

.

Так як та , то це ні непарна, ні непарна функція. Аналогічним чином доводиться, що і зміщена синусоїда не є ні парною, ні непарною функцією.

Якщо початкова фаза , то . Це означає, що зміщення гармоніки на рівносильне зміні знаку значення самої гармоніки. На рис. 2.11 зображена незміщена гармоніка та зміщена гармоніка . Ці дві гармоніки знаходяться в проти фазі. Практично цього ефекту можна одержати при зміні напрямку відліку амплітуди.

Дискретизований гармонічний сигнал одержують із аналогового

шляхом заміни неперервного часу дискретними відліками (рис. 2.12)

.

Рис. 2.11. 

Рис. 2.12. 

Одержали послідовність , яка в точках повторює значення гармоніки.