Теореми порівняння

Теорема 3.12. Якщо члени збіжної числової послідовності, починаючи з деякого номера, невід’ємні, то границя її є невід’ємною.

Доведення. Нехай у послідовності , починаючи з номера , члени

невід’ємні. Припустимо протилежне: границя послідовності менша за нуль:

.

Візьмемо . Тоді буде містити лише від’ємні числа. За означенням границі, починаючи з номера , усі члени послідовності належатимуть . Виберемо . Тоді одночасно буде більшим за нуль за умовою теореми та меншим за нуль, оскільки належить . Отримане протиріччя доводить твердження теореми.

Теорема 3.13. Якщо члени двох збіжних числових послідовностей, починаючи з деякого номера, задовольняють нерівності , то їх границі задовольняють нерівності

.

Доведення можна зробити, розглянувши послідовність , скориставшись теоремою 3.13.

Теорема 3.14. Якщо для членів трьох числових послідовностей

,

починаючи з деякого номера , виконується нерівність

,

причому , то послідовність також є збіжною і .

(Без доведення).

Існує велика кількість теорем Вейєрштрасса. Наведемо, без доведення, три з них, які встановлюють умови збіжності числових послідовностей.

Теорема 3.15. Будь-яка монотонно зростаюча й обмежена зверху числова послідовність має границю.

Теорема 3.16. Будь-яка монотонно спадна й обмежена знизу числова послідовність має границю.

Теорема 3.17. Будь-яка монотонна й обмежена числова послідовність має границю.

Використовуючи теорему 3.15, доводиться так звана друга важлива границя:

,

де - число Ейлера.

Запитання та завдання для самоперевірки

1. Чи утворюють числові послідовності лінійний простір?

2. Сформулюйте поняття нескінченно великої та необмеженої числових послідовностей.

3. Сформулюйте та доведіть теорему про зв'язок нескінченно малої та нескінченно великої числових послідовностей.

4. Доведіть за означенням, що число 3 є границею послідовності .

5. Починаючи з якого номера, члени послідовності будуть відрізнятися від числа 2, менше ніж на ?

3.2. Границя функції

Означення 3.27. Точка називається граничною точкою множини , якщо існує її окіл, точки якого, крім, можливо, самої точки , належать множині .

Розглянемо поведінку функції , що визначена в деякому околі граничної точки . У цьому околі можна побудувати числову послідовність , яка має своєю границею число . За умовою, що , функція буде визначена в усіх точках , тобто відповідні значення функції також утворюють числову послідовність . Зрозуміло, що послідовностей можна побудувати скільки завгодно. Відповідно, послідовностей значень функцій також буде нескінченна кількість.

Наприклад, . Обчислимо її границю:

Означення 3.28. (Означення границі функції за Гейне).

Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якої числової послідовності , границя якої є число , послідовність відповідних значень функції має границею число .

За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:

.

Позначається це так:

.

Означення 3.29. (Означення границі функції за Коші).

Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якого додатного числа існує додатне число , яке залежить від , таке, що для всіх , які задовольняють нерівності , відповідні значення функції задовольняють нерівності .

За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:

.

Означення 3.30. (Геометричне означення границі функції).

Число називається границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якого додатного числа існує додатне число , яке залежить від , таке, що для всіх , які належать -околу точки , відповідні значення функції належать -околу точки .

За допомогою кванторів це означення можна записати у вигляді:

.

Виходячи з означення границі за Гейне, можна сформулювати і довести властивості границі функцій, спираючись на відповідні властивості числових послідовностей. Разом з тим, деякі властивості границі функції потребують уточнення.

Наприклад, необхідна умова збіжності числових послідовностей є їх обмеженість. Ця ж умова для функцій буде такою: якщо функція має границю при , то існує деякий окіл точки , у якому функція є обмеженою.

Згідно з означенням границі за Гейне, розглядати треба всі числові послідовності , які мають границею . Серед них можна відокремити такі, що задовольняють деяким додатковим умовам, наприклад .

Якщо всі послідовності значень функції, побудовані на основі таких послідовностей, мають рівні границі, то кажуть, що в точці функція має односторонню границю, у даному випадку ліву:

.

Аналогічно визначається правостороння границя:

.

Теорема 3.18. Для того щоб існувала границя функції при , необхідно і достатньо, щоб існували і були рівними її право- і лівосторонні границі (Без доведення).