Арифметичні теореми про неперервні функції

Теорема 3.24. Якщо функції та , визначені в деякому околі точки , неперервні в точці , то їх сума, добуток та частка за умовою, що , неперервні в точці .

Доводяться ці твердження на основі арифметичних теорем про границю функцій.

Означення 3.37. Елементарними називаються функції, значення яких у кожній точці області визначеності обчислюються скінченою кількістю елементарних операцій.

До елементарних операцій відносять арифметичні та алгебраїчні дії, обчислення логарифмів, синусів, косинусів тощо.

Наведемо означення двох елементарних функцій.

Означення 3.38. Поліномом -ого степеня відносно змінної називається вираз:

Областю визначення поліному є всі дійсні числа.

Означення 3.39. Дробово-раціональною функцією, або раціональним дробом, називається відношення двох поліномів:

де - поліном степеня .

Означення 3.40. Коренем поліному називається число таке, що

Областю визначення дробово-раціональної функції буде ОДЗ дробу, тобто всі дійсні числа, крім коренів знаменника.

Прикладом неелементарних є функції, значення яких на різних проміжках області визначення обчислюються за різними аналітичними виразами. Відоме із шкільного курсу означення модуля являє собою неелементарну функцію:

Її графік:

Означення 3.41. Функція називається складеною, якщо вона є композицією декількох відображень.

Наприклад, .

Теорема 3.25. Елементарні функції неперервні у своїй природній області визначення (Без доведення).

Властивості функцій, неперервних на інтервалі

Теорема 3.26. Функція, визначена на відрізку та неперервна на інтервалі , є обмеженою на цьому відрізку і досягає своїх найменшого та найбільшого значень.

Покажемо зміст теореми на графіку:

Зауваження. Функція, визначена на відрізку , не може бути неперервною на його кінцях, оскільки, наприклад, у точці не існує лівостороння границя (функція не визначена зліва від цієї точки), тому не існує границя функції в цій точці, тобто не виконується умова неперервності. Аналогічна ситуація в точці .

Теорема 3.27. Якщо функція, визначена на відрізку та неперервна на інтервалі , має найменшим значенням , а найбільшим тоді для будь-якого числа існує точка , така, що .

Покажемо зміст теореми на графіку:

Теорема 3.28. Якщо функція, визначена на відрізку та неперервна на інтервалі , набуває на кінцях відрізка значення різних знаків, то існує, принаймні, одна точка , така, що .