3.4. Розкриття невизначеностей

При пошуках границь функцій ми використовуємо властивості елементарних функцій та арифметичні теореми про границі послідовностей і функцій.

Приклади.

1) .

Маємо дробово-раціональну, елементарну функцію, область визначення якої . (Оскільки ми розглядаємо лише функції, що визначені на підмножинах , то в подальшому запис робити не будемо). Значення належить області визначення, отже, функція в цій точці неперервна і границя дорівнює значенню функції в цій точці:

.

2) .

Точка не належить області визначення, у цій точці функція не є неперервною. Розглянемо поведінку функцій, що знаходяться в чисельнику та знаменнику. Це поліноми, отже, їх області визначення – всі дійсні числа, і в кожній точці області визначення вони неперервні, зокрема в точці . Границею функції чисельника є число , отже, існує окіл точки, у якому вона обмежена. Границею ж знаменника є нуль, отже, при вона є нескінченно малою. За теоремою 3.23 обернена до неї функція є нескінченно великою, а добуток нескінченно великої на обмежену є нескінченно великою функцією, отже, границя нашої дробово-раціональної функції не існує.

3) .

Точка не належить області визначення, у цій точці функція не є неперервною. Границя знаменника дорівнює нулю, границя чисельника також: . Таким чином, при обидві функції є нескінченно малими. Така ситуація носить назву невизначеності і позначається так: .

Існує ще декілька видів невизначеності:

.

Продовжимо приклад. Оскільки при обидва поліноми дорівнюють нулю, то є коренем і чисельника, і знаменника.

Доведено теорему про розклад полінома: якщо - корінь полінома , то його можна розкласти на добуток: , де - поліном, степінь якого на одиницю менший за .

(Частинний випадок цієї теореми вивчається у шкільному курсі, це теорема про розклад квадратного тричлена на лінійні множники: , де - корені тричлена).

Знаменник розкладу не потребує, для розкладу чисельника знайдемо другий корінь: .

.

Після скорочення маємо границю полінома, який є неперервною функцією, отже, границя дорівнює значенню функції в даній точці:

.

Невизначеність виду , яка містить тригонометричні функції.

4) .

Скористаємося першою важливою границею. Для цього зробимо перетворення: . Позначимо . Тоді при отримаємо: .

5) .

Зробимо заміну змінних: . Тоді .

Помножимо чисельник та знаменник на

Невизначеність виду , яка містить ірраціональні вирази.

6) .

Оскільки при чисельник дорівнює нулю, то спряжений до нього вираз нулю не дорівнює. Помноживши чисельник та знаменник на цей вираз, ми позбавимось ірраціональності в чисельнику. Поліном, який при цьому утвориться, при дорівнює нулю, отже, це його корінь. Розклад чисельника на множники буде містити , який також буде множником знаменника.

Невизначеність виду .

7) .

Поділимо чисельник та знаменник на у степені полінома знаменника: . Якщо , тобто є нескінченно великою величиною, то обернені до нього функції є нескінченно малими, отже, їх добутки на сталі величини та суми є нескінченно малими. Таким чином, і чисельник, і знаменник мають границі, причому границя знаменника дорівнює . За теоремою про границю частки маємо:

.

8) .

Поділимо чисельник і знаменник на у степені полінома знаменника: . Границя знаменника , отже, можна скористатися теоремою про границю частки: = . Оскільки у знаменнику число, а в чисельнику нескінченно велика величина, границя нашої функції не існує, вона є нескінченно великою.

9. .

Поділимо чисельник і знаменник на у степені полінома знаменника: . Границя знаменника , границя чисельника 3, отже, за теоремою границя частки дорівнює .

Невизначеність виду .

10) .

Знайдемо границю основи: .

Показник степеня , отже, маємо невизначеність . Для її розкриття скористаємось другою важливою границею. Зробимо перетворення:

Степенева та показникові функції – елементарні, отже, неперервні. Відповідно до одного з означень неперервності функції, символи границі та функції комутативні, тому можна записати:

. Для знаходження границі основи зробимо заміну: . При , отже, за другою важливою границею: . Отримали: . Границю степеня знайдемо, поділивши знаменник та чисельник на : . Остаточно, границя дорівнює .

Завдання для самоперевірки

1. Знайдіть границі:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ; ж) . .