Арифметичні теореми про границю функції

Теорема 3.19. Якщо функції та мають границі при , то існує границя суми цих функцій при , і вона дорівнює сумі границь:

.

Теорема 3.20. Якщо функції та мають границі при , то існує границя добутку цих функцій при , і вона дорівнює добутку границь:

.

Теорема 3.21. Якщо функції є сталою в деякому околі точки , то існує її границя при , і вона дорівнює цій сталій:

.

Наслідок теорем 3.19 та 3.20 – сталу можна виносити за символ границі:

.

Теорема 3.22. Якщо функції та мають границі при , і границя не дорівнює нулю, то існує границя частки цих функцій при , і вона дорівнює частці границь:

.

Зауваження. Оскільки , то існує деякий окіл точки , у якому , отже, у цьому околі існує частка даних функцій.

Означення 3.31. Функція називається нескінченно малою функцією або нескінченно малою величиною при , якщо її границя при дорівнює нулю:

.

Означення 3.32. Функція називається нескінченно великою функцією або нескінченно великою величиною при , якщо для будь-якого існує таке, що для всіх виконується нерівність :

.

Зауваження. Так само, як у числових послідовностях, нескінченно велика функція є необмеженою, але не будь-яка необмежена функція є нескінченно великою.

Теорема 3.23. Якщо функція є нескінченно малою при та існує деякий окіл цієї точки, у якому , то функція є нескінченно великою при .

Якщо функція є нескінченно великою при , то функція є нескінченно малою при .

Дані теореми можна довести, спираючись на означення границі за Гейне, що дозволяє скористатися відповідними теоремами для числових послідовностей.

Важливі границі

Перша важлива границя:

.

Друга важлива границя існує в декількох варіантах:

.

3.3. Неперервність функцій

Означення 3.33. Функція , визначена у деякому околі точки , називається неперервною в точці , якщо існує її границя при , і вона дорівнює значенню функції в цій точці:

.

Означення 3.34. Функція називається неперервною на деякому числовому проміжку, якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Існують ще два означення неперервності функції в точці, причому доведена їх еквівалентність.

Означення 3.35. Функція , визначена в деякому околі точки , називається неперервною в точці , якщо границя функції в тій точці дорівнює значенню функції від границі аргументу:

.

Для того, щоб навести ще одне означення, потрібно ввести поняття прирощення.

Р озглянемо функцію , визначену в деякому околі точки . Візьмемо точку , яка належить даному околу. Позначимо різницю .

Ця величина називається прирощенням аргументу. Різницю значень функції в цих точках позначимо . Ця величина називається прирощенням функції, що відповідає прирощенню аргументу .

Зрозуміло, що при , , тобто є нескінченно малою величиною.

Означення 3.36. Функція , визначена в деякому околі точки , називається неперервною в точці , якщо нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале прирощення функції.