1. Возведение в степень. Правило знаков

Степень действительного числа а с натуральным показателем п есть произведение сомножителей, каждый из которых ра­вен а:

Например,

Действительное число а называют основанием степени, а на­туральное число — показателем степени.

20

Справедливы следующие правила:

Чтобы возвести в степень произведение, нужно возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно, а результаты перемно­жить:

Чтобы возвести в степень дробь, нужно возвести в эту сте­пень числитель и знаменатель отдельно и первый результат раз­делить на второй, т. е.

86_97. Возвести в степень следующие одночлены:

Имеют место следующие свойства степеней, которые мы в дальнейшем будем называть правилом знаков.

1. Любая степень положительного числа есть число положи­тельное. Например,

2. Четная степень отрицательного числа есть число положи­тельное. Так,

3. Нечетная степень отрицательного числа есть число отрица­тельное. Например,

2. Действия со степенями

Сформулируем следующие правила действий со степенями, имеющими одинаковые основания:

I. При умножении степеней основание остается прежним, а показатели степеней складываются:

например,

21

II. При делении степеней основание остается прежним, а по­казатели степеней вычитаются:

Например,

III. При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются:

Например,

IV. При извлечении корня из степени основание остается прежним, а показатель степени делится на показатель корня:

Например,

98—104. Произвести указанные действия:

3. Нулевой показатель степени

При делении степеней одного и того же числа в случае ра­венства показателей степеней делимого и делителя получается нулевой показатель степени:

Однако нуль в качестве показателя степени не имеет того значения, которое мы придаем нулю в обычном понимании, так как нельзя повторить число сомножителем нуль раз. Поэтому условились считать, что , т. е. по определению всякое число

в нулевой степени равно единице (при ).

Перечисленные выше правила I—IV применимы к нулевому показателю:

22

105—107. Возвести в нулевую степень:

4. Отрицательный показатель степени

При делении степеней одного и того же числа в случае, когда показатель делимого меньше показателя делителя, получается отрицательный показатель степени; например,

За степень с отрицательным показателем принимается дробь, числитель которой равен единице, а знаменатель — тому же чис­лу, но с положительным показателем, равным абсолютной вели­чине отрицательного показателя. Следовательно,

108—110. Возвести в отрицательную степень:

Заметим, что всякое дробное алгебраическое выражение мож­но представить в виде целого алгебраического выражения с от­рицательным показателем. Для этого нужно все сомножители знаменателя записать в числителе, взяв их с отрицательными показателями.

111—113. Записать без знаменателя выражения:

23

5. Дробный показатель степени

Из правила IV действий со степенями следует, что при извле­чении корня из степени может получиться дробный показатель степени:

Степень положительного числа с дробным показателем озна­чает корень, показатель степени которого равен знаменателю, а показатель степени подкоренного числа равен числителю дроб­ного показателя, т. е.

Например,

114—119. Произвести указанные действия: