2. Основные тригонометрические тождества

Тригонометрические функции связаны между собой следую­щими основными тождествами:

Из тождества I вытекают формулы

которыми мы будем часто пользоваться.

48

383-394. Упростить выражения:

С помощью основных тригонометрических тождеств решается задача отыскания значений всех тригонометрических функций известному значению одной из них395. Найти значения. если известно, что

49

396. Найти значения _{если известно что}

397—400. Найти значения всех тригонометрических функций, если известно:

3. Формулы сложения аргументов

Формулы сложения аргументов имеют следующий вид:

401. Вычислить

50

402. Упростить выражение

403. Упростить выражение

404. Доказать тождество

51

4. Формулы приведения

Значения тригонометрических функций острых углов вычисляют по таблицам. Значения функций любых углов можно вычислить с помощью формул приведения к острому углу.

Сформулируем общее правило написания формул приведения. I

1⁰. Знак тригонометрической функции определяют по перво­начально заданному углу.

2⁰. Если аргумент можно представить как сумму или разность и острого угла, то название функции не изменяют.

3°. Если аргумент можно представить как сумму или раз­ность и острого угла, то название функции изменяют на сходное (синус — на косинус, тангенс — на котангенс).

415. Вычислить

416. Вычислить

417. Вычислить

418. Вычислить

419. Вычислить

52

420-422. Вычислить:

423—427. Упростить выражения:

53

5. Формулы двойных и половинных углов

Полагая в формулах (3), (5), (7) сложения аргументов, получим следующие формулы двойных углов:

Из формулы (10) вытекают два часто употребляемых соотношения

Из формул (12) и (13) можно получить формулы половин­ных углов:

где знак зависит от четверти, в которой оканчивается угол . Заменяя в равенствах (9) — (11) на , а на , находим:

Кроме того, и выражаются через тангенс половинного угла по формулам

433—441. Упростить выражения:

54

6. Формулы сложения одноименных функций

Формулы сложения одноименных тригонометрических функ­ций позволяют преобразовать сумму и разность функций в произведение этих функций. Они имеют следующий вид:

55

447—458. Преобразовать в произведения следующие выражения

Решение. Воспользуемся формулой (20):

Решение. Применяя формулы (20) и (21), получим

Решение. Сгруппировав слагаемые и применив формулы (23) и (20), вынесем общие множители за скобки и сократим дробь:

Решение. Сначала найдем сумму и разность аргументов:

Используя теперь формулу (21), находим

Решение. Вынесем за скобки множитель 2, а затем представим

Применяя формулу (22), получим

56

7. Обратные тригонометрические функции

Определение 4. Арксинусом числа т называется такой угол х, для которого

Арккосинусом числа т называется такой угол х, для которого

Арктангенсом числа m называется такой угол х, для которого ._t

Арккотангенсом числа m называется такой угол лг, для которого

Очевидно, что отыскание значений обратной тригонометриче­ской функции представляет собой задачу нахождения угла по известному значению его тригонометрической функции.

Например,

С помощью обратных тригонометрических функций можно решать простейшие тригонометрические уравнения:

459—467. Решить простейшие тригонометрические уравнения:

57