§ 4. Иррациональные выражения

• I. Основное свойство корня

• 2. Извлечение корня из произведения, дроби, степени

• 3. Преобразование корней

• 4. Действия с корнями

• 5. Освобождение знаменателя дроби от корня

• 6. Иррациональные уравнения

I. Основное свойство корня

Корнем и-й степени (п — натуральное число) из действитель­ного числа а называется такое действительное число х, при воз-

ведении которого в степень п получается число а, т. е. , если

Например, , так как , так как

Неотрицательное значение корня n-й степени из неотрица­тельного числа называется арифметическим корнем.

Например, при условии

Следует помнить, что при решении иррациональных уравне­ний их корни всегда рассматриваются как арифметические.

2-1356 33

Иррациональным выражением относительно какой-либо пере­менной называется выражение, в котором эта переменная нахо­дится под знаком корня (радикала).

В этом параграфе мы будем рассматривать только арифме­тические значения корня (т.е. неотрицательные значения).

Основное свойство корня заключается в следующем: вели­чина корня не изменится, если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить (или разделить) одновременно на одно и то же отличное от нуля число, т. е.

Это свойство позволяет производить преобразования ирра­циональных выражений.

Корни разных степеней можно привести к одинаковым показателям.

241. Привести к одному показателю:

.

Решение. а) Наименьшим общим кратным показателей кор­ней 5 и 3 является число 15. Дополнительный множитель к первому числу равен 3, а ко второму равен 5. Умножив показатель степени и показатель корня на дополнительный множитель, находим

б) Наименьшее общее кратное показателей корней 5 и 10 равно 10, а дополнительные множители равны соответственно 2 и 1. Тона получим .

Если подкоренное выражение есть степень, показатель кото­рой имеет общий множитель с показателем степени корня, то оба показателя можно разделить на этот множитель.

242. Преобразовать:

243—247. Привести к общему показателю корни:

248—252. Сократить показатели корней и показатели подко­ренных выражений:

34

2. Извлечение корня из произведения, дроби, степени

I. Чтобы извлечь корень из произведения, нужно извлечь его из каждого сомножителя отдельно и результаты перемножить:

II. Чтобы извлечь корень из дроби, нужно извлечь корень из числителя и знаменателя отдельно и первый результат раз­делить на второй:

III. Чтобы извлечь корень из степени, показатель которой делится на показатель корня, нужно разделить показатель сте­пени на показатель корня:

253. Извлечь корень:

Решение. а) Согласно правилу

б) Используя правило II, находим

в) R силу правила III,

г) Согласно правилам I, III, 254—257. Извлечь корень из произведения:

258—259. Извлечь корень из дроби:

261. Извлечь корень из степени:

2*

35

262—265. Извлечь корень:

3. Преобразование корней

Используя перечисленные выше правила, можно преобразо­вать (упростить) корни.

Если подкоренное выражение разлагается на такие множи­тели, что из некоторых извлекается корень, то можно вынести множитель за знак корня. 266—273. Вынести множитель за знак корня:

Иногда бывает полезно ввести иод знак корня множители, стоящие перед ним. Для этого необходимо возвести множитель в степень корня, а затем умножить на него подкоренное выра­жение.

274—277. Ввести множитель под знак корня:

С ледует уметь освобождаться от знаменателя в подкорен-

36

ном выражении. Для этого числитель и знаменатель подкоренные выражения нужно умножить на такой множитель, чтобы знаменателе получилось выражение, из которого можно из­влечь корень.

278-283. Освободиться от дроби в подкоренном выражении:

284-287.Привести корни к простейшему виду: