2 Вопрос. Дискретные случайные величины. Интегральная функция распределения дсв, ее свойства.

Для дискретных случайных величин мы можем перечислить все возможные значения, которые эта величина может принять. Эта совокупность значений может быть задана таблицей, функцией или графиком.

Запись Р(Х=х) для дискретных случайных величин означает вероятность того, что случайная величина X примет определенное значение х. Например, Р(Х=5)=0,2 означает, что вероятность того, что случайная величина X примет значение, равное 5, есть 0,2 . Мы можем также использовать более короткую запись: Р(х) вместо Р(Х=х) или Р(5)=0,2.

Если обозначить возможные значения ДСВ Х через х₁, х₂, …, х_n, а через р_i=Р(Х=х_i) вероятность появления значений х_i, то ДСВ полностью определяется таблицей:

х_i	х₁	х₂	…	х_n
р_i	р₁	р₂	…	р_n

Таблица называется вероятностным распределением случайной величины X или рядом распределения.

Вероятностное распределение дискретной случайной величины должно удовлетворять следующим условиям:

1. Р(х)≥0

2. ∑ Р(х) = 1 (или∑p_i=1)

Эти условия должны выполняться, так как Р(х) - значения вероятностей. Первое условие устанавливает, что все вероятности могут быть больше или равны нулю. Для второго условия отметим, что для каждого значения случайной величины X вероятность Р(х)=Р(Х=х) есть вероятность события, состоящего в том, что случайная величина может принять любые возможные значения (i=l,2,...,n), но в определенный момент только одно из них, т.е. события (X=x_i, (X=x₂), ...,(Х=x_n) представляют собой полную группу событий. Отсюда сумма всех вероятностей должна быть равна 1.

Ряд распределения можно изобразить графически:

Для этого по оси абсцисс откладывают возможные значения СВ, а по оси ординат соответствующие им вероятности. Если точки (х_i; p_i ) соединить отрезками прямых, то полученная ломанная линия есть многоугольник ( или полигон) распределения.

Интегральная функция распределения

При анализе экономических явлений определенный смысл имеют кумулятивные (накопленные) вероятности случайных величин. Нас может интересовать вероятность того, что значения случайной величины по крайней мере не превысят некоторого значения х. Это означает сумму всех вероятностей случайной величины X, значения которой меньше или равны х. Мы определим интегральную (кумулятивную) функцию распределения как следующую.

Функцией распределения ДСВ называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение не больше х (иногда строго меньше), то есть F(x) дискретной случайной величины X есть:

F(x)=P(X≤x)=

Заметим, что каждое значение F(x) равно сумме соответствующих значений р_iдля всех значений i, меньших или равных х (или строго меньших). Для ДСВ функция F(x) разрывная ступенчатая функция, непрерывная справа.