График функции распределения для непрерывной случайной величины

Исходя из перечисленных выше свойств F(x), график функции распределения может быть представлен в следующем виде.

F(x) F(x)=1 1 F(x)=0 x

Рис. График функции распределения непрерывной случайной величины.

7 Вопрос. Дифференциальная функция и ее свойства. Вероятность попадания нсв в заданный интервал. Связь функции распределения с плотностью распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называется функция f(х), равная первой производной от функции распределения F(x): f(x)=F`(x).

F(x) называется интегральной функцией распределения, т.к. является первообразной функции f(x).

f(x) называется дифференциальной функцией распределения. Дифференциальная функция применяется только для описания распределения вероятностей непрерывных случайных величин.

Свойства дифференциальной функции f(x)

1. Дифференциальная функция - неотрицательная функция: f(x)≥0. Это следует из того, что F(x) неубывающая функция, и, значит, ее производная неотрицательна.

2.Несобственный интеграл от дифференциальной функции в пределах от -∞ до + ∞ равен 1:

Очевидно, что этот интеграл выражает вероятность достоверного события: -∞ < Х < +∞

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна определенному интегралу от дифференциальной функции, взятому в пределах от α до β:

Геометрически этот результат равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью ОХ, кривой распределения f(x) и прямыми х= α и х = β. (График рассмотрим на практике)

Связь функции распределения с плотностью распределения

Если задана интегральная функция F(x), то дифференциальная f(x) - есть первая производная от интегральной. f(x) = F`(x)

Но если задана дифференциальная функция, то интегральную функцию (функцию распределения) F(x) можно выразить через дифференциальную функцию (плотность распределения) следующим образом:

8 Вопрос. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида:

где f(x)dx - элемент вероятности.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется несобственный интеграл вида:

Средним квадратическим отклонением непрерывной случайной величины называется корень квадратный из дисперсии.

Для числовых характеристик непрерывных случайных величин справедливы те же свойства, что и для дискретных.

В частности для дисперсии непрерывной случайной величины справедлива формула:

σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]², где

Пример:

Задана интегральная функция распределения F(x) НСВ следующим образом:

Найти плотность распределения f(x), вероятность P(2<X<4), вычислить числовые характеристики распределения этой НСВ и построить графики F(x) и f(x)

Решение:

1. Плотность распределения (дифференциальную функцию) найдём как первую производную от интегральной функции:

2. P(2<X<4) можно найти либо как приращение функции распределения, либо через плотность f(x):

1 способ.

P(α<x<β) = F(β) – F(α)

P(2<x<4) = F(4) – F(2) =

2 способ.

3. По формуле найдём математическое ожидание НСВ

По формуле найдём дисперсию НСВ

Вычислим дисперсию по формуле σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]²,найдя вначале M(X²)

Теперь σ²=D(X)=18 – 4²= 2 кв. ед.

4. Графики интегральной функции F(x) и дифференциальной функции f(x) изображены на рисунках 1 и 2.

F(x) F(x)=1 1 F(x)=0 0 6 x Рисунок 1.

f(x) 1/3 f(x)=x/18 P(2<X<4) f(x)=0 f(x)=0 0 2 4 6 x Рисунок 2.