5 Вопрос. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дсв. Свойства дисперсии.

Дисперсия СВ оценивает рассеивание возможных значений СВ от ее математического ожидания.

Дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания. Вероятности значений СВ играют роль весов. Дисперсия ДСВ задается как:

По этой формуле дисперсия вычисляется путем вычитания математического ожидания из каждого значения случайной величины, затем возведением в квадрат результатов, умножением их на соответствующие вероятности и сложением результатов для всех xi.

Свойства дисперсии дискретной случайной величины.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е. D(c)=0

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат, т.е. D(cX)=c²D(X)

3. Дисперсия суммы (разности) конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, т.е. D(X±Y)=D(X)+D(Y)

4. Если X₁,X₂,...,X_n. - одинаково распределенные независимые случайные величины, дисперсии каждой из которых равны σ², то дисперсия их суммы равна n σ², а дисперсия средней арифметической равна σ²/n ,т.е. D(X)=σ²/n

5. Для вычисления дисперсии проще пользоваться другой формулой. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата СВ и квадратом математического ожидания. Упрощенная формула для вычисления дисперсии ДСВ: σ²=D(X)=M(X²)–[M(X)]², где

Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) ДСВ равно корню квадратному из дисперсии:

В чем смысл дисперсии и среднего квадратического отклонения? Как мы можем интерпретировать их значения? По определению σ² - мера рассеяния всех возможных значений случайной величины относительно ожидаемого значения. Дисперсия характеризует колеблемость, изменчивость случайной величины: чем больше вариация, тем дальше от средней находятся возможные значения случайной величины. Для содержательной интерпретации зачастую полезно применять значение, которое дает корень квадратный из дисперсии - среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение). Если сравнивают две случайные величины, то та из них, которая имеет большую дисперсию и среднее квадратическое отклонение, более вариабельна. Риск, ассоциируемый с инвестициями, часто измеряют стандартным отклонением возврата инвестиций. Если сравниваются два типа инвестиций с одинаковой ожидаемой средней возврата, то инвестиции с более высоким средним квадратическим отклонением считаются более рискованными (хотя более высокое стандартное отклонение предполагает возврат более вариабельный с обеих сторон - как ниже, так и выше средней).

6 Вопрос Непрерывные случайные величины. Функция распределения нсв.

Напомним, что когда мы характеризовали случайные величины, то отметили, что они бывают дискретными и непрерывными.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать любые значения на числовом интервале, причем своем для каждой случайной величины.

Закон распределения непрерывной случайной, величины можно задать в виде интегральной функции распределения, которая является наиболее общей формой задания закона распределения случайной величины, а также в виде дифференциальной функции (плотности распределения), которая используется для описания распределения вероятностей только НСВ.

Для НСВ функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е. F(x) = Р(Х < х)

Свойства F(x)

1. Функция распределения есть неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1:

О ≤ F(х) ≤ 1, т.к. F(x) есть вероятность.

2. Функция распределения есть неубывающая функция, т.е. F(x₂)≥ F(x₁) если х₂ > x₁

Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина X примет значение, заключенное в интервале (α, β) равна приращению функции распределения на этом интервале: P(α<x<β) = F(β) - F(α)

Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.

На практике факт, что непрерывная случайная величина имеет нулевую вероятность не должен нас волновать. Обсудим пример с ежедневным прогнозом погоды. Если метеослужба объявляет, что температура воздуха в полдень составила 5 градусов по Цельсию, то это не означает, что температура будет точно равна пяти градусам. Вероятность такого события будет равна нулю.

3. Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (α, β), то F(x)=0 при х ≤ α и F(x) = 1 при x>β.