1.4 Требования, предъявляемые к моделям

Моделирование всегда связано с решением конкретных задач, которые не должны давать абсурдные результаты. Желательно, чтобы была возможность изменения величины параметров и переменных в как можно большем интервале измерений, поскольку это позволяет изучить модель на всю глубину исследуемых параметров. Желательно также, чтобы модель могла ответить на вопрос – “а что, если...?”, поскольку именно этот вопрос позволяет ее изучить наиболее полно.

Необходимо также помнить о том для кого предназначается информация, которая появляется при моделировании. Нет смысла разрабатывать модель, если ей в конечном итоге невозможно воспользоваться.

При построении модели надо также учитывать и тот факт что со временем ситуация может измениться и разрабатываемая модель должна иметь возможность адаптироваться (подстроиться) к новым условиям. Изменения могут быть связаны как с изменением интервала значений уже рассматриваемых параметров, так и с появлением новых значимых параметров. Следовательно, и модель должна иметь возможность к подобной адаптации.

Модель должна быть экономичной. Экономичность модели определяется, как затратами, затрачиваемым пользователем модели на ее использование, так и возможностью быстрого перестроения модели исследователем.

Основываясь на вышеизложенном, можно сформулировать основные требования предъявляемые к модели. Модель должна быть:

• точной – обеспечивающей совпадение результатов эксперимента, полученных от реального объекта, с данными, полученными от модели;

• экономичной;

• целенаправленной – не содержащей лишней, ненужной информации;

• полной с точки зрения возможностей решения главных задач;

• адаптивной, позволяющей легко переходить к другим модификациям или обновлять данные,

• простой и понятной для использующего модель пользователя.

Для того чтобы моделью можно было пользоваться, при ее разработке должны быть тщательно продуманы и потребности, и психология ее конечного потребителя.

1.5 Общий вид математических моделей

1.5.1 Общий вид математических моделей

Математическая модель, это модель, которая в общем случае представляет собой записанный с помощью средств математики алгоритм вычисления вектора выходных параметров Y при заданных входных параметрах X.

Математические модели являются представлением физических или иных процессов, протекающих в объектах. Обычно данные модели представляют систему уравнений, описывающих внутренние, внешние и выходные параметры (см. далее).

В самом простом случае структуру аналитической модели мы можем представить математически в виде следующей системы:

,

где Y=f(x,z) – целевая функция, х≤Х – возможные ограничения, Y – результат действия системы; х, z – переменные и параметры; f – функциональная зависимость между параметрами и переменными определяющая величину Y. Данная система содержит одну целевую функцию и одно ограничение. В общем случае математическая модель может содержать несколько целевых функций и несколько ограничений.

Тогда любая математическая модель может содержать следующие составляющие /21/:

— компоненты,

— переменные,

— параметры,

— функциональные зависимости,

— ограничения,

— целевые функции.

Под компонентами понимают составные части, образующие систему. В качестве компонентов могут выступать ограничения и целевые функции. Иногда под компонентами понимаются элементы системы или ее подсистемы. Например, если в качестве системы рассматривать технологический процесс, то компонентами этой системы будут отдельные операции. Полное количество компонентов участвующих в моделировании выбирается исследователем.

Параметры это величины, выбирающиеся произвольно в отличие от переменных, которые принимают только значения, определяемые видом используемой функции, т.е. параметры являются постоянными величинами, не подлежащими изменению. Например, в законе Гука (1): Е является параметром постоянной величиной для заданного материала, а σ и ε — переменными.

σ=Еε, (1)

где σ – напряжения, Е – модуль Юнга, ε – деформации.

Переменные могут быть двух видов - внутренними и внешними. Внешние переменные называют также входными, поскольку они являются результатом воздействия внешних причин. Переменные, возникающие в системе, называются внутренними. Они появляются в результате воздействия внутренних причин. Внутренние переменные могут быть переменными состояния, если они характеризуют состояние или условия, имеющие место в системе или выходными переменными, если они описывают состояние на выходах системы /21/.

Функциональные зависимости характеризуют переменные и параметры в пределах компонента или выражают соотношения между компонентами системы. Эти соотношения, могут быть различными по своей природе и используемому математическому аппарату. По природе исследуемого объекта соотношения могут быть детерминистскими, или стохастическими. Детерминистские соотношения – это уравнения устанавливающие зависимость между переменными или параметрами в случае, когда процесс однозначно определен. Стохастические соотношения однозначно не определяются с помощью входных параметров.

Функциональные зависимости могут быть получены в соответствии с двумя подходами: гносеологическим или информационным (см. далее). Как правило, стохастические соотношения между входными и выходными переменными характерны для информационного подхода.

Ограничения являются математической записью пределов изменения значений переменных. Они могут быть поставлены разработчиком – искусственные ограничения, или природой исследуемых объектов в соответствии с присущими им свойствами – естественные ограничения. Как правило, искусственные ограничения являются техническими требованиями к объекту или процессу. Например, требование предъявляемое к поковке по штамповочному уклону служит ограничением при моделировании процесса заполняемости штампа при штамповке.

Примером естественного ограничения может быть максимальное и минимальное значение процентов содержания компонента сплава, которое может изменяться от 0 до 100%. В качестве примера искусственного ограничения можно привести ограничения связанные с поиском сплава с наибольшей прочностью при изменении процентного содержания одного из компонентов в диапазоне от 10 до 25%.

Целевая функция, или функция критерия, - является отражением целей или задач моделирования. Уравнение целевой функции должно быть, как можно более точно определено относительно целей задач исследования. Под критерием понимается конкретная мера оценки позволяющая давать верное суждение о суть происходящих явлений. Такое определение критерия объясняется двумя причинами. Во-первых, выбор критерия влияет на процесс создания модели и работу с ней. Во-вторых, неправильное определение критерия обычно ведет к неправильным заключениям. Функция критерия (целевая функция) является основой модели. Практически процесс исследования модели и решения задачи оптимизации полностью связан с исследованием целевой функции.

В зависимости от сложности поставленной задачи математическая модель может содержать несколько целевых функций, в этом случае говорят, что задача моделирования является многокритериальной.