1.5.5 Методы решения задач омд

Для определения напряженно - деформированного состояния тела достаточно иметь три уравнения равновесия:

шесть кинематических уравнений связи деформации с перемещениями:

где - перемещение в направлении i-ой оси,

шесть физических уравнений:

где ,

уравнения интенсивности деформации:

,

уравнение, описывающее физические свойства материала:

,

где А и n – константы, описывающие механические свойства материала.

Эта система уравнений является моделью описывающей напряженно деформированное состояние любого тела подвергающегося внешней нагрузке, содержит восемнадцать уравнений с восемнадцатью неизвестными, т.е. статически определима. Однако математически решить данную систему для конкретного процесса в большинстве случаев невозможно. Поэтому в ОМД приходиться использовать специальные и упрощенные методы решения систем уравнений. К ним относят:

метод решения упрощенных уравнений равновесия и пластичности;

метод сопротивления материалов пластическим деформациям;

метод характеристик.

Суть всех методов одна, и заключается в том, что производиться упрощение существующих физических законов, описываемых сложными дифференциальными уравнениями до более простых дифференциальных зависимостей, которые позволяют найти приближенное решение исходной системы /13/.

В ряде случаев задача интегрирования исходной системы дифференциальных уравнений может быть заменена на задачу поиска некоторого значения энергетического функционала. Методы, использующие данный математический подход, называются вариационными /13/.

Наиболее широко используемый в настоящее время в программных продуктах метод конечных элементов (МКЭ) то же является вариационным. Данный метод является одним из вариантов решения метода Ритца, который путем минимизации потенциальной энергии тела сводит задачу к системе линейных уравнений. Данный метод нашел применение не только для решения задачи механики сплошных сред, но и для описания многих других физических процессов.

Суть МКЭ заключается в том, что непрерывные величины можно заменить на модель, состоящую из отдельных участков (элементов). При этом на каждом из участков исследуемая непрерывная величина заменяется кусочно-линейной непрерывной функцией, построенной на значениях непрерывной исследуемой величины в конечном числе точек.

Распределение значений исследуемой величины внутри области и сама непрерывная величина, могут быть неизвестны. При построении дискретной модели мы предполагаем, что численные значения исследуемой величины в конкретных точках (узлах) на границах нам известны. После этого можно перейти к определению значений кусочно-непрерывной функции, за счет подбора значений в узловых точках так, чтобы выполнялось условие минимизации потенциальной энергии.

Таким образом, осуществляется следующая последовательность действий:

1. Область определения исследуемой величины разбивают на КЭ. Эти элементы связаны друг с другом с помощью узлов. Элементы в совокупности аппроксимируют (описывают) форму исследуемого тела.

2. Значение исследуемой непрерывной величины в каждом узле предстоит определить в зависимости от поставленных граничных условий.

3. Подбирая значения непрерывной исследуемой величины в узловых точках, определяют ее значения внутри рассматриваемой области (тела).

Аппроксимирующие функции подбираются таким образом, чтобы сохранить непрерывность исследуемой величины вдоль границ элемента. В виде аппроксимирующей функции могут выступать линейные, квадратичные и кубические полиномы, которые для данного элемента называются функцией элемента.

Рассмотрим в качестве примера расчет с помощью МКЭ осевого растяжения ступенчатого стержня /14/. Ступенчатый стержень жестко заделан с левого края и имеет сечения А₁ и А₂, нагружен с правого торца растягивающим усилием Р. Требуется определить перемещение сечений 1, 2, 3 (рисунок 11).

Рисунок 11 – Ступенчатый стержень

Разобьем стержень на два элемента (I, II) так, чтобы граница между элементами проходила в месте изменения перпендикулярного к длине сечения стержня. Введем на границах элементов узлы 1, 2, 3, в которых будем искать перемещения u. В результате такого упрощения мы будем решать задачу растяжения двух стержневых элементов, каждый из которых имеет длину l₁ и l₂, площадь ( и ) приложенное к узлам усилие (Р₁и Р₂) и смещения (u_1,u₂), которые появляются от действия этого усилия (рисунок 12).

Для любого из этих элементов согласно теории сопротивления материалов можно записать значения усилия действующего в узлах:

P₁ = (u₁ – u₂);

P₂ = (u₂ – u₁),

где Е модуль упругости.

Рисунок 12 – Элемент стержня.

Для каждого элемента систему узловых усилий можно записать следующим образом:

=

или

= (1)

Рассмотрим последнее уравнение более подробно. В нем называется матричным вектором усилий, – вектором перемещений или степеней свободы, – матрицей жесткости.

Вернемся к ступенчатому стержню. Очевидно, что поскольку стержень состоит из нескольких элементов, то для решения задачи необходимо объединить соотношения для элементов 1 и 2 с учётом их положения в пространстве (или взаимодействия по узлам). Тогда можно записать или

= ,

где в векторе усилий уже учтено то, что R является реакцией опоры приложенной в узле 1, а Р является растягивающим усилием, приложенным в узле 3, а узел 2 свободен от нагрузок.

У нас осталось неиспользованное ограничение по перемещению (u₁=0). Его можно использовать для упрощения решения системы, если заменить в матрице жесткости первую строку и первый столбец на нули а элемент матрицы, стоящий на главной диагонали заменить на единицу. Тогда уравнение примет вид:

_. = .

Решением этого уравнения являются следующие значения перемещений.

u₁=0, u₂= _; u₃= .

Пространственное положение каждого из элементов приведённой выше системы описывается с помощью числа степеней свободы или вектором узловых перемещений. Обычно каждой степени свободы (узловому перемещению) соответствует сопрягаемые переменные усилия. Для расчета эти переменные усилия собираются в матричной вектор . Произведение вектора сил на вектор степеней свободы является внешний энергией или работой совершаемой над телом внешними силами.

В приведенном примере одноосного растяжения стержня решение системы уравнений может быть получено просто и в явном виде. В случае моделирования более сложных тел приходится, задаваясь значениями перемещений, искать решение так, чтобы выполнялось условие минимизации энергии. В ходе такого решения значениями перемещений приходиться задаваться неоднократно, поэтому МКЭ носит название вариационного метода.

Рассмотренный нами пример позволяет определить напряжено- деформированное состояние тела на основании варьирования перемещений. В действительности термин МКЭ определяет более широкий набор математических способов расчета, среди которых в зависимости от того, какой величиной варьируют можно выделить следующие способы расчета:

• в перемещениях (минимум потенциальной энергии Лагранжа) – варьируются перемещения;

• в напряжениях (минимум дополнительной работы Кастильо) – варьируются напряжения;

• смешанные (принцип Райснера) – варьируются перемещения и напряжения;

• гибридные (принцип Ху-Вашицу) – варьируются перемещения, напряжения и деформации.

Наиболее часто используется принцип Лагранжа.

В зависимости от области науки, в которой используются МКЭ, смысл векторов и может измениться (таблица 1).

Таблица 1 – Физический смысл векторов и

Область приложения	Вектор состояния	Вектор
Механика твердых тел	Перемещение	Механическое усилие
Теплопроводность	Теплопроводность	Тепловой поток
Потенциальное течение	Давление	Скорость частицы
Общий вид течения	Скорость	Поток
Электростатика	Электрический потенциал	Плотность заряда
Магнитостатика	Магнитный потенциал	Интенсивность магнитного поля