1.5.2 Основные этапы формализации объектов и процессов при построении математической модели

Процесс создания математической модели, которая в дальнейшем может использоваться для создания программы, содержит следующие этапы:

1. постановка задачи,

2. анализ и упрощение данных,

3. синтез структуры модели,

4. проверка адекватности модели,

5. принятие решения о доработке модели или ее использовании.

На первом этапе необходимо определить, в чем именно заключается задача формализации, и какие результаты необходимо получить за счет изменения параметров.

На втором этапе исследователю необходимо на основании анализа элементов упростить реальный объект или процесс и поставить ограничения. Процесс упрощения достаточно подробно изложен в пункте (1.3) формализация объектов и процессов при моделировании. Как правило, при постановке ограничений для установления области исследования пользуются здравым смыслом (например, при моделировании свойств нового сплава состоящего из большого количества компонентов содержание любого из компонентов не может быть более 100%). В другом случае ограничения могут быть сформулированы при постановке задачи (например, постановка задачи звучит следующим образом: уточнить концентрацию компонента в сложном сплаве в интервале от 10 до 15% так чтобы прочность сплава была наибольшей).

На третьем этапе, на основании уже формализованных данных создается сама модель. Этот этап можно разделить на две части. Во-первых, записывается сама модель (система уравнений) без конкретизации числовых значений используемых параметров. Во-вторых, осуществляется расчет и уточнение числовых значений ранее записанной модели.

На четвертом этапе осуществляется проверка адекватности построенной модели. На этом этапе желательно осуществить постановку эксперимента с целью подтверждения созданной модели.

На пятом этапе, на основании теоретической или экспериментальной проверки принимается решение о доработке модели или ее использовании. В случае, если для моделирования использовалось несколько различных вариантов моделей, производиться выбор наиболее подходящего варианта.

1.5.3 Основные подходы в математическом моделировании

Для построения математических моделей можно использовать два подхода: гносеологический (аналитический) и кибернетический (информационный) /2/.

Аналитический подход позволяет получить математическое описание процесса на основе теоретического анализа физических процессов, происходящих в исследуемом объекте с учетом особенностей и характеристик обрабатываемого материала. Постановка эксперимента при использовании данного подхода осуществляется только для уточнения и проверки уже построенной модели /2/.

Построенные на основании данного подхода модели являются наиболее полными и используются для анализа явлений, протекающих в объекте. После аппроксимации простыми зависимостями эти модели можно использовать в задачах оптимизации и автоматического управления.

Кибернетический подход – базируется, на изучении входных и выходных переменных кибернетической системы, которую называют “черным ящиком” (рисунок 6). “Черный ящик” представляет собой систему связей, недоступную для наблюдения, т.е. неизвестен характер связи входов Х и выходов Y участвующих в процессе /4, 5, 6, 7, 26/.

Данный подход дает математические модели, которые описывают поведение объекта, а не его физическую сущность. Модели, построенные на основании данного подхода так же, используются для оптимизации и автоматического управления.

Рассмотрим пример использования гносеологического и кибернетического подходов. Допустим, что необходимо исследовать какое влияние на толщину фланца заготовки в ходе процесса вытяжки оказывает величина исходного диаметра заготовки. Напомним, что процесс вытяжки заключается в получении цилиндрической оболочки с дном из плоской заготовки рисунок 7.

В соответствии с кибернетическим подходом необходимо провести серию экспериментов для получения исходных данных. Полученные из экспериментов данные математически обработать и выяснить, есть ли между исходным диаметром заготовки и толщиной фланца зависимость или нет. В случае, если зависимость наблюдается, необходимо провести дополнительное исследование полученной модели с тем, чтобы установит аналитическую зависимость влияния диаметра заготовки на толщину фланца. Аналитические зависимости строят в виде уравнения регрессии с заданной степенью надёжности и проверкой адекватности.

Рисунок 6 – Схема “черного ящика”: Х – информация, поступающая на вход;

Y – информация, поступающая на выход

В соответствии с аналитическим подходом необходимо провести теоретическое исследование процесса вытяжки. Для этого обратимся к теории листовой штамповки.

Рисунок 7 – Вытяжка цилиндрической детали из круглой плоской заготовки:

1 – матрица; 2 – заготовка; 3 – пуансон; 4 - прижим

Согласно теории листовой штамповки надо воспользоваться уравнением связи напряжений и деформаций и условием постоянства объема, которые для листовой штамповки могут быть записаны в следующем виде /8,9/:

,

,

где , - меридиональное и широтное напряжения; , - деформации в соответствующих направлениях, - деформация по толщине.

Откуда:

.

После преобразований получим:

.

Считаем, что , а можно записать:

,

где S, S₀ – соответственно толщины до и после деформации рассматриваемого элемента с координатой , r – радиус рассматриваемого элемента до деформации. Поскольку при , то для кромки деформируемой заготовки можно записать:

,

где , - радиусы заготовки и кромки в рассматриваемый момент деформации. Основываясь на этом соотношении, можно примерно оценить толщину фланца заготовки при вытяжке. В случае использования данного подхода моделирования решение было получено “на бумаге” и практически все затраты сводятся лишь к затратам времени на теоретическое исследование.

В данной работе в дальнейшем будет рассматриваться только гносеологический подход моделирования.