Приложение
Тригонометрические формулы преобразования.
cosX∙cosY = 1/2∙cos(X+Y) + 1/2∙cos(X-Y);
cos(Х+Y) = cosХ∙cosY - sinX∙sinY; cos(Х-Y) = cosХ∙cosY + sinX∙sinY;
1 – cosX = 2∙sin2(Х/2); 1 + cosX = 2∙cos2(Х/2);
cosX + cosY = 2∙cos[(X+Y)/2]∙cos[(X-Y)/2];
cosX - cosY = -2∙sin[(X+Y)/2]∙sin[(X-Y)/2];
sinX + sinY = 2∙sin[(X+Y)/2]∙cos[(X-Y)/2];
sinX - sinY = 2∙sin[(X-Y)/2]∙cos[(X+Y)/2].
Формулы расчета коэффициентов Берга.
γ0(θ) = 1/π ∙ (sin θ - θ∙cos θ); γ1(θ) = 1/π ∙ (θ - sin θ ∙cos θ); γn(θ) = In/SU;
γn(θ) = [2/π ∙ (sin nθ∙cos θ - n∙cos nθ∙sin θ)] / [n ∙ (n2 – 1)], n = 2, 3, ... ;
Формулы расчета различных интегралов.
∫exp(-ax2)∙cos(bx)∙dx = √π/4a∙exp(-b2/4a);
∫[cos(ax) / (b2+x2]∙dx = π/2b∙exp(-b∙a); ∫[1/ (b2+x2]∙dx = 1/b∙arctg(х/b);
∫ exp(-аx2)∙dx = 1/2∙√π/а; ∫[х∙sin(ax) / (1+x2)]∙dx = π/2∙exp(-a);
∫ [x2 ∙ cos(ax) / (1+x2)] ∙dx = π∙δ(a) - π/2∙exp(-a);
Формула интегрирования по частям: ∫u∙dv = u∙v - ∫v∙du;
Пример: ∫х∙cos(ax)∙dx = 1/а∙х∙sin(ax) + 1/а2 ∙cos(ax).
Расчет значений интеграла вероятностей.
Интеграл вероятностей Ф(х) = 1 / √2π ∙ ∫exp(-t2/2)∙dt;
Используются также другие виды интеграла вероятностей:
Ф0(х) = 1 / √2π ∙ ∫exp(-t2/2)∙dt;
Ф'(х) = 2 / √2π ∙ ∫exp(-t2/2)∙dt (функция Крампа).
Взаимосвязь между различного вида интегралами вероятности:
Ф(х) = 0,5 + Ф0(х) = 0,5[1 + Ф'(х)].
Значения интегралов вероятности в характерных точках:
Ф(-х) = 1 - Ф(х); Ф0(-х) = - Ф0(х); Ф'(-х) = - Ф'(х);
Ф(-∞) = 0; Ф(0) = 0,5; Ф0(-∞) = 0; Ф0(0) = 0; Ф'(-∞) = 0; Ф' (0) = 0;
Ф(∞) = 1; Ф0(∞) = 0,5; Ф'(∞) = 1.
Значения интеграла вероятностей Ф(х) приведены в таблице П.1
Таблица П.1
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
х |
Ф(х) |
0,1 |
0,54 |
1,1 |
0,864 |
2,1 |
0,982 |
3,1 |
0,999 |
0,2 |
0,579 |
1,2 |
0,885 |
2,2 |
0,986 |
3,2 |
0,9993 |
0,3 |
0,618 |
1,3 |
0,903 |
2,3 |
0,989 |
3,3 |
0,9995 |
0,4 |
0,655 |
1,4 |
0,919 |
2,4 |
0,992 |
3,4 |
0,9997 |
0,5 |
0,691 |
1,5 |
0,933 |
2,5 |
0,994 |
3,5 |
0,99976 |
0,6 |
0,726 |
1,6 |
0,945 |
2,6 |
0,995 |
3,6 |
0,99984 |
0,7 |
0,758 |
1,7 |
0,955 |
2,7 |
0,996 |
3,7 |
0,99989 |
0,8 |
0,788 |
1,8 |
0,964 |
2,8 |
0,997 |
3,8 |
0,99992 |
0,9 |
0,816 |
1,9 |
0,971 |
2,9 |
0,998 |
3,9 |
0,99995 |
1,0 |
0,841 |
2,0 |
0,977 |
3,0 |
0,9987 |
4,0 |
0,99997 |
Более подробную таблицу значений интеграла вероятностей можно найти
в [13]. Значения его также можно рассчитать по приближенной рекуррентной формуле с погрешностью приблизительно (3 – 5) % :
Ф(х) ≈ 1 – 0,65∙exp[-0,443(x +0,75)2].
Таблица соотношения энергетических спектров и функций корреляции
стационарных случайных процессов.
Таблица П.2.
В(τ) |
W(ω) |
π ∙ W0 ∙ δ(τ) |
W0 |
exp (-α ∙ τ ), τ >0 |
2∙α / (α2 +ω2) |
exp (-α ∙ τ2 ), τ >0 |
√π/α ∙ exp (-ω2/4α ) |
sin (Δω∙τ ) / ( Δω∙τ), τ >0 |
π / Δω , при 0 ≤ ω ≤ Δω; 0, при ω > Δω |
exp (-α ∙ τ ) ∙ cos (ω0 ∙ τ ), τ >0 |
α / [α2+(ω-ω0)2] |
exp (-α ∙ τ2 ) ∙ cos (ω0∙ τ ), τ >0 |
√π/4α ∙ exp[- (ω-ω 0)2/4α ] |
[sin(Δω∙τ /2) / ( Δω∙τ/2)]∙cos(ω0∙τ) τ >0 |
π / Δω , при |ω-ω0| ≤ Δω/2; 0, при |ω-ω0| >Δω/2; |
Таблицы функций Бесселя первого рода.
Таблица П.3
Jк(m) |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,8 |
1 |
J0(m) |
0,9975 |
0,99 |
0,0604 |
0,9385 |
0,912 |
0,8463 |
0,7652 |
J1(m) |
0,0499 |
0,0995 |
0,196 |
0,2423 |
0,2867 |
0,3688 |
0,4401 |
J2(m) |
0,0012 |
0,005 |
0,0197 |
0,0306 |
0,0437 |
0,0758 |
0,1149 |
J3(m) |
0 |
0,0002 |
0,0013 |
0,0026 |
0,0044 |
0,0102 |
0,0196 |
J4(m) |
0 |
0 |
0,0001 |
0,0002 |
0,0003 |
0,001 |
0,0025 |
J5(m) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,0001 |
0,0002 |
m
Таблица П.4.
Jк(m) |
1,2 |
1,6 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
J0(m) |
0,6711 |
0,4554 |
0,2239 |
- 0,26 |
- 0,397 |
- 0,178 |
0,15 |
J1(m) |
0,4983 |
0,5699 |
0,5767 |
0,339 |
- 0,066 |
- 0,328 |
- 0,277 |
J2(m) |
0,1593 |
0,257 |
0,3528 |
0,486 |
0,364 |
0,047 |
- 0,243 |
J3(m) |
0,0329 |
0,0723 |
0,1289 |
0,309 |
0,43 |
0,365 |
0,115 |
J4(m) |
0,005 |
0,015 |
0,024 |
0,132 |
0,281 |
0,391 |
0,358 |
J5(m) |
0,0006 |
0,0025 |
0,007 |
0,043 |
0,132 |
0,261 |
0,362 |
J6(m) |
0,0001 |
0,0003 |
0,001 |
0,011 |
0,049 |
0,131 |
0,246 |
m
Продолжение таблицы П.4.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
J7(m) |
0 |
0 |
0 |
0,003 |
0,015 |
0,053 |
0,13 |
J8(m) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,004 |
0,018 |
0,57 |
J9(m) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,006 |
0,021 |
J10(m) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,001 |
0,007 |
J11(m) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,002 |
Таблица П.5.
Jк(m) |
8 |
10 |
12 |
16 |
20 |
J0(m) |
0,172 |
- 0,246 |
0,048 |
- 0,175 |
0,167 |
J1(m) |
0,235 |
0,043 |
- 0,223 |
0,09 |
0,069 |
J2(m) |
- 0,113 |
0,255 |
- 0,085 |
0,186 |
- 0,16 |
J3(m) |
- 0,291 |
0,058 |
0,191 |
- 0,044 |
- 0,099 |
J4(m) |
- 0,105 |
- 0,22 |
0,182 |
- 0,203 |
0,131 |
J5(m) |
0,186 |
- 0,234 |
- 0,073 |
- 0,057 |
0,151 |
J6(m) |
0,338 |
- 0,014 |
- 0,244 |
0,167 |
- 0,055 |
J7(m) |
0,321 |
0,217 |
- 0,17 |
0,182 |
- 0,184 |
J8(m) |
0,224 |
0,318 |
0,045 |
- 0,007 |
- 0,074 |
J9(m) |
0,126 |
0,292 |
0,23 |
0,19 |
0,125 |
J10(m) |
0,061 |
0,208 |
0,3 |
- 0,206 |
0,186 |
J11(m) |
0,026 |
0,123 |
0,27 |
- 0,068 |
0,061 |
J12(m) |
0,01 |
0,063 |
0,195 |
0,112 |
- 0,119 |
J13(m) |
0,003 |
0,029 |
0,12 |
0,237 |
- 0,204 |
J14(m) |
0,001 |
0,012 |
0,065 |
0,272 |
- 0,146 |
J15(m) |
0 |
0,005 |
0,032 |
0,24 |
- 0,008 |
J16(m) |
0 |
0,002 |
0,014 |
0,178 |
0,145 |
J17(m) |
0 |
0 |
0,006 |
0,115 |
0,233 |
J18(m) |
0 |
0 |
0,002 |
0,067 |
0,251 |
J19(m) |
0 |
0 |
0 |
0,035 |
0,219 |
J20(m) |
0 |
0 |
0 |
0,017 |
0,165 |
J21(m) |
0 |
0 |
0 |
0,008 |
0,111 |
J22(m) |
0 |
0 |
0 |
0,003 |
0,068 |
J23(m) |
0 |
0 |
0 |
0,001 |
0,038 |
J24(m) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,02 |
J25(m) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,01 |
J26(m) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,004 |
m
Примечания.
1. Значения функций Бесселя равные нулю означают не абсолютное их равенство нулю, а очень малую величину, которой можно пренебречь.
2. Отрицательные значения функций Бесселя говорят о начальной фазе этих составляющих равных 1800 (π радиан). Не показанные в таблице П.3 и П.4 значения J6(m) – J20(m) для m = 0,1 – 1 и J12(m) – J20(m) для m = 1,2 – 6 говорят о равенстве их нулю (вернее очень маленькой величине).