2.1.4. Проверить, сходится ли заданная последовательность xn точек метрического пространства X к точке a, если выполнены следующие условия (таблица 2.1.4).

Таблица 2.1.4

Вариант	X
1	2	3	4
1
2
3
4
5
6

Окончание таблицы 2.1.4

1	2	3	4
7
8
9
10

2.1.5. Определить, является ли данное условие а) необходимым, б) достаточным, в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве X (таблица 2.1.5?

Таблица 2.1.5

Вариант	X	Условие
1		существует предел числовой последовательности
2		существует предел числовой последовательности
3		, где
4		существует предел числовой последовательности
5		, где
6		, где
7		функциональная последовательность сходится равномерно на [0,4]
8		существует предел числовой последовательности
9		, где
10		функциональная последовательность сходится равномерно на [0,1]

2.1.6. Найти предел последовательности x_n в метрическом пространстве X, если он существует (таблица 2.1.6).

Таблица 2.1.6

Вариант	X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Примеры решения типовых задач

1. Является ли данная функция а) полуметрикой;

б) метрикой на данном множестве Х ?

Пример 1. - пространство интегрируемых по мере Лебега функций на отрезке [a,b], .

Решение. Проверим выполнение аксиом полуметрики (метрики). Справедливость аксиом ) и 2) очевидна. С другой стороны, если

,

то в силу одного из свойств интеграла Лебега (какого?) отсюда следует лишь, что п. в. (относительно меры Лебега), а потому свойство 1) не имеет места. Справедливость свойства 3) вытекает из следующей цепочки равенств и неравенств:

Таким образом, функция является полуметрикой, но не является метрикой.

2. Проверить, сходится ли заданная последовательность x_n точек метрического пространства X к точке a.

Пример 1. .

Решение. Заметим, что | |. Так как при всех имеем

при ,

то при . Значит, x_n сходится к a в .

Пример 2. .

Решение. Рассмотрим . Обозначим функцию через и найдем наибольшее значение функции на отрезке . Имеем , , если или , причем , ,

Значит (по правилу нахождения наибольшего значения функции на отрезке),

,

а потому x_n сходится к точке a в пространстве .

Пример 3. x_n = , .

Решение. Имеем

при .

Так как не стремится к нулю, то x_n не сходится к a в l₃.

Пример 4. x_n = , , .

Решение. Имеем

при .

Значит, x_n сходится к a в l₂.

Пример 5. .

Решение. Имеем

.

Применим теорему Беппо Леви о предельном переходе под знаком интеграла. Введем обозначение . Функция является интегрируемой на для любого , и

.

Кроме того, . Значит, по теореме Б. Леви

.

Следовательно, x_n сходится к a в .

Пример 6. , , .

Решение. Имеем

при (мы воспользовались тем, что ~ при ). Значит, x_n сходится к a в .

3. Выяснить, является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным, в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве X?

Пример 1. – пространство непрерывных функций с метрикой .

Условие: последовательность x_n(t) поточечно сходится к непрерывной функции a(t).

Решение. Не нарушая общности, можем считать, что . Покажем, что условие не является ни необходимым, ни достаточным. Для выяснения достаточности условия рассмотрим следующую последовательность x_n(t), заданную на графически (рисунок 6):

Рисунок 6 – График функции x_n(t)

Последовательность x_n сходится к функции поточечно на (почему?), но

,

то есть нестремится к нулю. Значит, данное условие не является достаточным для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве .

Теперь допустим, что в , то есть при . Покажем на примере, что отсюда не следует поточечная сходимость x_n к a. Рассмотрим последовательность и функцию . Имеем

при .

Значит, в . Но последовательность не сходится к поточечно, так как при . Таким образом, данное условие не является и необходимым для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве .

Пример 2. .

Условие: , где .

Решение. Положим . Данное условие означает, что при . Докажем, что это условие является достаточным для сходимости последовательности x_n к а в пространстве . Поскольку при выполнении этого условия при достаточно больших n, то при таких n и при всех k имеем . Поэтому при этих n и при всех k. Значит,

при , а это означает, что . Следовательно, в . Достаточность доказана.

Теперь покажем, что условие не является необходимым. Рассмотрим последовательность точек из и точку из . У нас 0 при (остаток сходящегося ряда стремится к нулю). Значит, в . Но в этом примере (сравните с гармоническим рядом), а потому данное условие при не выполняется. Наконец, если бы оно выполнялось для точки , то по доказанному в первой части решения было бы , что противоречит единственности предела.

4. Найти предел последовательности x_n в метрическом пространстве X, если он существует.

Пример 1. .

Решение. 1 способ. Допустим, x_n сходится к некоторой точке a в пространстве . Так как для любого k

при ,

то имеем и покоординатную сходимость x_n к a. Но покоординатно x_n сходится к точке

(почему?), которая не принадлежит пространству (ряд расходится, по необходимому признаку). Мы пришли к противоречию. Значит, x_n не сходится в .

2 способ. Так как

при ,

то последовательность x_n не является фундаментальной в . Следовательно, x_n не сходится в .

Пример 2. , .

Решение. 1 способ. Допустим, x_n сходится к некоторому элементу a в . Так как при для любого k, то имеем покоординатную сходимость x_n к a. Но покоординатно x_n сходится к последовательности

,

для которой при (почему?). Следовательно, x_n не сходится к a в . Противоречие.

2 способ. Заметим, что последовательность x_n не является фунда-ментальной в . Действительно,

x_n+1 = ,

причем при . Так как x_n не фундаментальна, то она и не сходится в .