Тема 2.3

Полнота метрических пространств

Определение. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если

.

Каждая сходящаяся последовательность фундаментальна, но обратное, вообще говоря, неверно.

Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится.

Важным примером полного метрического пространства служит числовая прямая с естественной метрикой (критерий Коши).

Теорема. 1) Замкнутое подмножество полного пространства полно.

2) Полное подмножество метрического пространства замкнуто.

2.3.1. Выяснить, является ли последовательность фундамен-тальной в данном пространстве ? Найти , если он существует (таблица 2.3.1).

Таблица 2.3.1

Вариант	X
1	2	3
1
2
3
4

Окончание таблицы 2.3.1

1	2	3
5
6
7
8
9
10

(К – канторовское множество).

2.3.2. Выяснить, является ли заданное метрическое пространство полным.

Вариант 1. , .

Вариант 2 , .

Вариант 3 , .

Вариант 4 , .

Вариант 5 , .

Вариант 6 , .

Вариант 7 , .

Вариант 8. , .

Вариант 9 , .

Вариант 10 , .

2.3.3. Выяснить, является ли заданное метрическое пространство полным.

Вариант 1. Пространство непрерывно дифференциру-емых на отрезке функций с метрикой

;

Вариант 2. Пространство всех дважды дифференцируемых на отрезке функций с метрикой .

Вариант 3. Пространство числовых последова-тельностей , удовлетворяющих условию , с метрикой ;

Вариант 4. Пространство всех непрерывных на отрезке функций с метрикой .

Вариант 5. Пространство всех ограниченных числовых после-довательностей с метрикой

;

Вариант 6. с метрикой .

Вариант 7. Пространство сходящихся к нулю последова-тельностей с метрикой

;

Вариант 8. с метрикой

.

Вариант 9. Пространство с сходящихся последовательностей с метрикой ;

Вариант 10. с метрикой .

Вариант 11. Пространство ограниченных и непрерывных на интервале функций с метрикой ;

Вариант 12. с метрикой .

Примеры решения типовых задач

1. Является ли последовательность фундаментальной в данном пространстве X? Найти , если он существует.

Пример 1 . ,

,

где K – канторово множество.

Решение. Так как канторово множество имеет лебегову меру нуль, то и − множество меры нуль. Значит, п.в. Последняя последовательность поточечно сходится к нулю. Покажем, что сходится к 0 в . В самом деле,

по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (последовательность подинтегральных функций мажорируется, например, интегрируемой на отрезке [0,1] функцией ).

Итак, последовательность сходится, а потому фундаментальна.

Пример 2. .

Решение. Так как − множество меры нуль, то почти всюду на . Покажем, что эта последовательность не фундаментальна в нашем пространстве:

.

(мы воспользовались леммой Римана из теории рядов Фурье, согласно которой , но можно было бы вычислить интеграл и непосредственно).

2. Является ли метрическое пространство полным?

Пример 1. , .

Решение. Если последовательность точек данного пространства фундаментальна, то . Поэтому для любого положительного числа найдется такой номер N, что при всех m, n>N справедливо неравенство

. (1)

Следовательно, для любого фиксированного k=1,2,3. Значит, для любого фиксированного k=1,2,3 числовая после-довательность фундаментална в . В силу критерия Коши, для любого фиксированного k=1,2,3 существует предел

.

Полагая теперь в (1) , получаем, что при всех n>N справедливо неравенство , т. е. последовательность сходится в данном пространстве к х. Таким образом, пространство - полное.

Пример 2. − пространство вещественнозначных ограни-ченных функций на отрезке , наделенное метрикой

.

Решение. Покажем, что любая фундаментальная последо-вательность ( ) в является сходящейся. Её фундамен-тальность означает, что выполняется неравенство

. (2)

Зафиксируем число . Тогда числовая последовательность в силу (2) является фундаментальной в . По причине полноты пространства последовательность сходится. Положим , . Тем самым на отрезке определена функция , к которой сходится поточечно. Осталось доказать, что

1) ;

2) при .

С этой целью перейдем в (2) (а точнее, в неравенстве , справедливом при всех t из ) к пределу при . Получим, что

. (3)

Пусть и . Полагая в (3) , получаем, что при всех выполняется оценка

,

из которой следует ограниченность . Следовательно, . Наконец, формула (3) означает, что . Поэтому

при .

Пример 3. Пусть – пространство числовых последовательностей , удовлетворяющих условию , где − заданная последовательность положительных чисел и

.

Решение. Покажем, что данное пространство полно. Пусть − фундаментальная последовательность в . Это значит, что

. (4)

Тогда для любого фиксированного имеем

,

или

.

Следовательно, для любого фиксированного числовая последо-вательность является фундаментальной, а потому сходится. Введем бозначение и положим . Осталось показать, что

1) и

2) при .

Из (4) следует, что любого фиксированного М, что в пределе при дает . Переходя теперь к пределу при , получим

,

т. е.

. (5)

Фиксируем . Вследствие неравенства Минковского выполняется неравенство , и мы имеем в силу (5)

,

а это значит, что . Теперь (5) показывает, что при , а потому ( ) сходится в нашем пространстве к .

Пример 4. − множество непрерывно дифференцируемых на функций с метрикой .

Решение. Рассмотрим последовательность и покажем, что она является фундаментальной, но не является сходящейся в нашем пространстве. Заметим, что эта последовательность поточечно сходится к функции , где

А так как , то по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем

при .

Это означает, что в пространстве последовательность сходится к . Следовательно, она фундаментальна в Х. С другой стороны, если предположить, что пространство Х полно, то последовательность сходится в данном пространстве к некоторой непрерывно дифференцируемой функции , и мы получим, что имеет два предела ( и ) в ­ противоречие. Итак, данное пространство не является полным.