Тема 2.5

Компактные множества в метрических пространствах

Определение. Подмножество К метрического пространства Х называется компактным (компактом), если из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное покрытие.

Определение. Подмножество метрического пространства Х называется предкомпактным (в другой терминологии относительно компактным), если оно содержится в компактном подмножестве пространства Х (это равносильно тому, что его замыкание компактно).

Теорема. Подмножество компактно в Х тогда и только тогда, когда оно предкомпактно и замкнуто.

Теорема (свойство Больцано-Вейерштрасса). Подмножество К метрического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности его точек можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к точке из К.

Теорема. Подмножество К метрического пространства предкомпактно (компактно) тогда и только тогда, когда оно ограничено (соответственно ограничено и замкнуто).

Определение. Подмножество К метрического пространства C[a,b] называется равномерно ограниченным, если существует такая константа С, что .

Определение. Подмножество К метрического пространства C[a,b] называется равностепенно непрерывным, если

.

Теорема Арцела-Асколи. Подмножество К пространства C[a,b] предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Теорема. Подмножество К пространства предкомпактно тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) ;

2) .

2.5.1. Является ли данное множество М а) компактым, б) пред-компактным в пространстве (таблица 2.5.1)?

Таблица 2.5.1

Вариант	М
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

2.5.2. Выяснить, является ли множество М предкомпактным, компактным в (таблица 2.5.2).

Таблица 2.5.2

Вариант	М	Вариант	М
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

2.5.3. Определить, является ли данное множество М предком-пактным в пространстве (таблица 2.5.3).

Таблица 2.5.3

Вариант	р	М
1	2
2	1
3	2
4	2
5	1
6	1
7	2
8	3
9	4
10	4

Примеры решения типовых задач

1. Выяснить, являются ли данные множества предкомпактными, компактными в .

Пример 1. а) ;

б) .

Решение. а) Проверим для множества М условия теоремы Арцела-Асколи. Рассмотрим функцию . Пусть . Функция непрерывна на и . Множество является компактом. По теореме Вейерштрасса функция ограничена на , т.е.

.

Значит, М равномерно ограничено (впрочем, легко проверить и непосредственно, что при наших условиях ).

Проверим равностепенную непрерывность множества М. Функция равномерно непрерывна на множестве по теореме Кантора. Если обозначить через произвольную точку из К, то равномерная непрерывность означает, что , что , таких, что , и , таких, что (ρ обозначает евклидову метрику в К), справедливо неравенство

.

Отсюда следует равностепенная непрерывность множества М (см. определение). Значит, по теореме Арцела-Асколи М предкомпактно.

Для доказательства компактности множества М теперь достаточно проверить его замкнутость в . Но это тоже следует из непрерывности функции . В самом деле, если х − предельная точка множества М, то найдется последовательность функций из М, сходящаяся к х в . По теореме Больцано-Вейерштрасса из последовательности точек множества К можно выбрать подпос-ледовательность, которую мы тоже обозначим , сходящуюся к точке . Тогда поточечно , а потому в силу единственности предела . Итак, М – компакт.

б) Так как М₁ М, то множество М₁ предкомпактно в силу а). Но М₁ не является компактом, так как не замкнуто в . Действительно, функции принадлежат , но предел этой последовательности не принадлежит множеству М₁.

Пример 2. .

Решение. 1 способ. Это множество является равномерно ограниченным, но не является равностепенно непрерывным. Действительно, возьмем . Тогда найдется такое натуральное n, что точки и удовлетворяют неравенству , но в то же время . Значит, по теореме Арцела-Асколи М не является предкомпактным, а потому и компактным множеством.

2 способ. Множество М не является предкомпактным, так как из него нельзя извлечь подпоследовательность, сходящуюся в (а потому его замыкание не обладает свойством Больцано-Вейерштрасса). Действительно, все подпоследовательности множества М сходятся к разрывной функции (какой?).

Пример 3. .

Решение. Множество М равномерно ограничено, так как

.

Множество М равностепенно непрерывно, так как и , таких, что , имеем

.

Значит, по теореме Арцела-Асколи М предкомпактно.

Покажем, что М содержит все свои точки прикосновения. Пусть х есть точка прикосновения множества М. Тогда найдутся такие числа , что равномерно на . В силу периодичности синуса можно считать, что . При этом промежуток удобно отождествлять с факторгруппой , то есть с единичной окружностью, наделенной естественной топологией, в которой она компактна. (Отличие здесь в том, что если последовательность в сходится к , то в этой топологии предел считается равным 0). Заметим, что в этой топологии существует . Действительно, если допустить противное, то найдутся две подпоследовательности и последовательности , имеющие различные пределы и соответственно. Но тогда при всех t, откуда . Противоречие. Следовательно, . Значит, М – замкнутое множество, откуда следует, что М – компакт.

Пример 4. .

Решение. Данное множество не является равностепенно непрерывным. Действительно, возьмем . Тогда найдется такое натуральное n, что точки и удовлетворяют неравенству , но в то же время выполняется неравенство . Значит, по теореме Арцела-Асколи М не является предкомпактным, а потому и компактным множеством.

2. Является ли множество М предкомпактным в ?

Пример 1. .

Решение. Проверим критерий предкомпактности в .

1) Множество М удовлетворяет первому условию, поскольку, как легко проверить, , а потому

.

2) Так как ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, то есть

.

Поэтому

.

Значит, множество М предкомпактно.