Тема 2.4

Непрерывные отображения

Далее и – метрические пространства, .

Определение. Пусть . Отображение f называется непре-рывным в точке , если для любого существует такое , что из неравенства следует неравенство (непрерывность «на языке »).

Это равносильно тому, что из того, что , следует, что при (непрерывность «на языке последова-тельностей»).

Отображение f называется непрерывным, если оно непрерывно в каждой точке множества Х.

Определение. Отображение f называется равномерно непрерыв-ным на множестве Х, если для любого существует такое , что для любых из неравенства следует неравенство .

Определение. Говорят, что отображение f удовлетворяет условию Липшица, если существует такое число , что для любых выполняется неравенство .

Ясно, что из условия Липшица следует равномерная непрерывность, а из последней – непрерывность отображения f.

2.4.1. Выяснить, является ли заданное отображение на своей естественной области определения непрерывным в точке (таблица 2.4.1)?

Таблица 2.4.1

Вариант	X	Y	F
1	2	3	4	5
1
2
3
4
5

Окончание таблицы 2.4.1

1	2	3	4	5
6
7
8
9
10

2.4.2. Является ли заданное отображение :

а) непрерывным;

б) равномерно непрерывным;

в) удовлетворяющим условию Липшица (таблица 2.4.2)?

Таблица 2.4.2

Вариант	X	Y	F
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Примеры решения типовых задач

1. Является ли заданное отображение на своей естественной области определения непрерывным в точке ?

Пример 1. , ,, .

Решение. Очевидно, что заданное отображение определено на всем . Представим его в виде , где , , и покажем, что и непрерывны в любой точке . Пусть последовательность сходится к в . Тогда

.

Отсюда следует, что непрерывно.

Докажем непрерывность . Будучи непрерывной, функция ограничена на , т. е. . А так как равномерно на , то начиная с некоторого номера (почему?). Тогда

.

Отсюда следует, что в . Поэтому в силу произвольности отображение непрерывно в любой точке из .

Пример 2. .

Решение. Пусть последовательность сходится к в . Тогда

при .

Теперь в силу неравенства Коши-Буняковского,

.

(полученная оценка показывает также, что принадлежит при из ; поэтому отображение определено на всем ). Значит, – непрерывное отображение в точке .

Пример 3. .

Решение. Покажем, что отображение не является непрерывным. Возьмём последовательность , которая стремится к нулю в , поскольку

при .

Рассмотрим теперь выражение

.

Следовательно, последовательность не стремится к нулю при , а потому не стремится к в .

Пример 4. .

Решение. Покажем, что отображение не является непрерывным. Заметим, что

.

Возьмем последовательность , которая сходится к нулю в , поскольку

при .

Имеем

при ,

а потому не стремится к в .

2. Является ли заданное отображение : а) непрерывным;

б) равномерно непрерывным; в) удовлетворяющим условию Липшица?

Пример 1. .

Решение. а) Пусть . Отображение является непрерывным, так как

(мы воспользовались неравенством ).

б) Покажем, что не является равномерно непрерывным. Возьмём . Тогда при , но

,

а значит, не стремится к нулю при . Это противоречит определению равномерной непрерывности (проверьте).

в) Так как не является равномерно непрерывным, то оно не удовлетворяет условию Липшица (почему?).

Пример 2. .

Решение. Покажем, что удовлетворяет условию Липшица с константой . Заметим, что

.

Рассмотрим функцию . Тогда

.

Следовательно, по теореме Лагранжа

,

а значит,

.

Так как удовлетворяет условию Липшица, то оно равномерно непрерывно, а потому и непрерывно.

Пример 3. .

Решение. Покажем, что удовлетворяет условию Липшица. Действительно,

Так как , то по теореме Лагранжа

.

Поэтому при любых x,y справедливо неравенство

.

Так как удовлетворяет условию Липшица, то оно является равномерно непрерывным.

Пример 4. .

Решение. а) Покажем, что непрерывно. Действительно, если в , то числовая последовательность сходится к (почему?). Тогда

при .

б) Покажем, что не является равномерно непрерывным. Пусть последовательности и заданы следующим образом:

, , , .

Тогда

при ,

но

при .

в) Так как не является равномерно непрерывным, то оно не удовлетворяет и условию Липшица.

Пример 5. .

Решение. а) Покажем, что не удовлетворяет условию Липшица. Допустим противное, то есть что

.

Возьмем . Так как

(1)

то , то есть , . Противоречие.

б) Покажем, что является равномерно непрерывным. Заметим, что функция является равномерно непрерывной на . Действительно, она равномерно непрерывна на по теореме Кантора и равномерно непрерывна на по теореме Лагранжа, так как при . Равномерная непрерывность функции означает, что

.

Теперь, если , то . Поэтому в силу равенства (1)

.