1.4. Поняття про масштаб

Щоб створити топографічну карту, проекція земної по­верхні на поверхню референц-еліпсоїда має бути зменшена до оглядних розмірів. Відношення, що показує, у скільки разів зменшені лінійні розміри земного еліпсоїда або кулі при зображенні їх поверхні на карті, називається масштабом карти, тобто

М = l : S, (1.2)

де М - масштаб; l - довжина відрізка прямої на карті; S - до­вжина відповідної йому лінії (її горизонтального прокладання) на еліпсоїді або кулі. При цьому

М = 1 : m, (1.3)

де m — число, що показує ступінь зменшення.

Наприклад: l = 10см, S = 500 м, m = 10см : 50 000 см = 1:5 000. Це означає, що лінійні розміри земного еліпсоїда (кулі) зменшені у 5 000 разів. Якщо ті ж 500 м відобразити на карті відрізком l = 1 см, то М = 1:50 000.

Отже, чим більша величина m, тим менші розміри зображення на карті і на­впаки. Залежно від ступеня зменшення виділяють великі, середні та дрібні мас­штаби (див. також 2.2).

1.5. Розміри ділянок земної поверхні, які приймаємо за площини. Топографічний план

Визначення ділянки земної поверхні, яку приймаємо за площину, зводиться до встановлення її розмірів, при яких кривиз­на Землі може не враховуватись. Іншими словами, потрібно визначити, для якої ділянки місцевості можна застосувати ор­тогональну проекцію точок земної поверхні на горизонтальну площину.

На рис. 1.11 зображено частину поверхні Землі у вигляді сфери радіуса R і її проекцію на площину, де аТ = Тb , Для простоти міркувань розглянемо половину зображення проекції. З ри­сунка видно, що з віддаленням від точки Т різниця DS між до­вжиною лінії на сферичній поверхні ТВ = S та її проекцією на площину Тb = s зростає, а віддаль ОВ збільшується на величину Dh, яка впливає на точність визначення висоти точки на місцевості. Доведено, що

.

Рис. 1 .11. Вплив кривизни земної по­верхні на лінійні

Та висотні вимірювання

Результати обчислень DS, подані в табл.1.1, свідчать про те, що DS зростає по­вільно. При довжині дуги 10 км DS становить лише 1:1 000 000 її довжини, а як­що S = 50 км, то DS досягає 1:50 000.

Сучасні високоточні геодезичні прилади дають можливість вимірювати відстані з відносною похибкою 1:1 000 000, тому ділянку радіусом 30 км (~400 км²) можна вважати за плоску. При знижених вимогах до точності лінійних вимірів її площа може бути збільшена.

Вплив кривизни Землі на зміну величини Dh інший, ніж вплив на DS. Це видно з табл. 1.1. Підрахувати значення Dh можна за формулою:

.

За цією формулою одержують значення Dh при певних зна­ченнях S. Вони свідчать про те, що розбіжності між висотами точок на сфері і на площині швидко зростають, досягаючи значних величин на відносно невеликому віддаленні від точки дотику T. Оскільки на практиці висоти точок місцевості часто визначають з точністю до 1 мм, доводиться враховувати зна­чення Dh навіть при коротких відстанях.

Під час проекції сферичної поверхні на площину змі­нюються також величини кутів, утворених лінійними від­різками, наприклад сторонами будь-якого многокутника. Ця зміна, кутових величин, або ексцес ε, визначається за фор­мулою:

,

де Р - площа фігури, r - величина радіана. Величини сферич­ного ексцесу подані в табл. 1.2. На основі цих даних можна зро­бити такий висновок: для квадрата із стороною 10 км вплив сферичності Землі визначається величиною лише 0,5² . Таким чином, при проектуванні відносно малих ділянок земної по­верхні на горизонтальну площину, яке здійснюється в ортого­нальній проекції, одержують подібне зображення, де практич­но нема спотворень довжин відрізків і горизонтальних кутів між напрямками цих відрізків. Незначні розміри ділянок до­зволяють виконувати роботу у великому масштабі.

Таблиця 1.1

Вплив кривизни Землі на зміну ΔS і Δh

S, км	DS, м	Dh, м	S, км	DS, м	Dh, м
1 5 10	0,00 0,00 0,01	0,08 1,96 7,85	20 50 100	0,07 1,02 8,21	31,39 196,20 784,81

Таблиця 1.2

Вплив кривизни Землі на зміну ексцесу e

Р,км2	10	100	400	900	1600	2500	5000	10000
e	0,05	0,51	2,03	4,57	8,13	21,71	25,40	50,80

Картографічне зображення в ортого­нальній проекції у великому масштабі ділянки місцевості, в межах якої кривизна рівневої поверхні вкрай мала, називають топографічним планом.

На відміну від планів топографічні карти відображують значні за розмірами території, тому створюються у дрібніших масштабах і інших (не ортографічних) проекціях, які враховують кривизну рівневої поверхні.