Исходные данные задачи

Показатели	Зерновые	Сахарная свекла	Однолетние травы	Многолетние травы на сено
Затраты труда, чел.– ч.	75	2500	20	30
Затраты механизированного труда, маш.-смен.	0,5	5	0,1	0,3
Урожайность, ц/га	20	270	18	25
Валовой сбор продукции, ден. ед.	100	500	53	62

Решение

1. Составление экономико-математической модели задачи

Построим математическую модель. Введем обозначения:

х₁ – площадь под зерновыми, га;

х₂ – площадь под сахарную свеклу, га;

х₃ – площадь под многолетние травы, га;

х₄ – площадь под однолетние травы, га.

Найти значение неизвестных, которое бы обеспечивало максимальное значение целевой функции Z_max при соблюдении ограничений и условий неотрицательности переменных:

1) целевая функция: Z_max = 100х₁ + 500х₂ + 53х₃ + 62х₄ (ден. ед.);

2) система ограничений:

– количество пашни, га – объем трудовых ресурсов, чел. – ч. – объем механизированного труда, маш. – смен. – производство зерновых, ц

3) условия неотрицательности: х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃≥ 0, х₄ ≥ 0.

2. Приведение модели к канонической форме записи задачи, определение основных и дополнительных переменных

Найти значение неизвестных, которое бы обеспечивало максимальное значение целевой функции Z_max при соблюдении ограничений и условий неотрицательности переменных:

1) целевая функция: Z_max = 100х₁ + 500х₂ + 53х₃ + 62х₄ (ден. ед.);

2) система ограничений:

,

где S₁ – недоиспользованное количество пашни, га;

S₂ – недоиспользованное количество трудовых ресурсов, чел. – ч.;

S₃ – недоиспользованное количество механизированных ресурсов, маш. – смен;

S₄ – сверхплановое производство зерна, ц.

3) условия неотрицательности: х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0, х₃≥ 0, х₄ ≥ 0, , , , .

Переменные х₁, х₂, х₃, х₄ являются основными, а переменные S₁, S ₂, S ₃, S ₄ –дополнительными.

3. Решение задачи симплексным методом

Решив задачу, получим оптимальное решение в симплексной таблице 29.

Таблица 29

Последняя симплексная таблица (оптимальное решение)

Базис	Свободные члены, bi	Свободные переменные
		-х1	-х2	-х3	-х4	-S1	-S2	-S3	-S4
х1	2000	1	0	1,09	1,04	1,11	0	-0,22	0
х2	200	0	1	-0,09	-0,044	-0,11	0	0,22	0
S2	750	0	0	160,70	69,70	194,40	1	-538,90	0
S4	24000	0	0	21,80	20,88	22,22	0	-4,44	1
Z	30000	0	0	11,44	20,22	55,56	0	88,89	0

Выпишем решение из таблицы:

х₁ = 2000 – площадь под зерновые, га;

х₂ = 200 – площадь под сахарную свеклу, га;

х₃ = 0, х₄ = 0 – однолетние и многолетние травы не возделываются, га;

S₁ = 0 – пашни используется полностью, га;

S₂ = 750 – недоиспользованное количество трудовых ресурсов, чел.-ч.;

S₃ = 0 – механизированные ресурсы используются полностью;

S₄ = 24000 – сверхплановое производство зерна, ц;

Z = 300000 – максимум валовой продукции, ден. ед.

В данном случае: х₁ и х₂ – основные базисные переменные, х₃ и х₄ – основные небазисные переменные, S₂ и S ₄ – дополнительные базисные переменные, S₁ и S ₃ – дополнительные небазисные переменные.