1. Необходимые теоретические сведения.

Оценки называются точечными, если значения случайных характеристик объектов определяются непосредственно по выборке случайных чисел. Такая характеристика называется выборочной характеристикой .

Основными выборочными характеристиками являются следующие величины:

выборочная средняя (например, средняя наработок до отказа)1913Equation Chapter 3 Section 1203Equation Section 3

21321\* MERGEFORMAT (.)

выборочное среднее число событий (например, среднее число отказов)

22322\* MERGEFORMAT (.)

выборочное среднеквадратичное отклонение

23323\* MERGEFORMAT (.)

выборочное среднеквадратичное число событий

24324\* MERGEFORMAT (.)

где - объем выборки (число наблюдаемых величин).

Характеристика является случайной величиной. С некоторой вероятностью (уровень значимости) случайные значения величины попадут в некоторый интервал вокруг истинного значения (рис. 3.1а)

25325\* MERGEFORMAT (.)

Правомерна обратная постановка задачи: определить интервал около вычисленной характеристики , который накроет истинное значение (рис. 3.1б)

26326\* MERGEFORMAT (.)

Интервал от до имеет случайные концы и носит название доверительного интервала, а вероятность называется доверительной вероятностью (или уровнем доверия).

u = u- - нижняя доверительная граница,

u = u+ - верхняя доверительная граница.

Доверительные границы определяют интервал, в котором с достаточно высокой вероятностью должно находиться истинное значение .

Оценка истинного значения характеристики случайной величины с помощью доверительных границ называется интервальной оценкой.

Если считать , то величина будет находиться в интервале от до бесконечности с вероятностью .

27327\* MERGEFORMAT (.)

Если , т. е. , то величина будет не больше , или, другими словами, находиться в интервале от 0 до с вероятностью

28328\* MERGEFORMAT (.)

Выражения (3.7) и (3.8) определяют односторонние доверительные границы для характеристики .

Односторонние доверительные границы применяются в тех случаях, когда надо убедиться, что одна случайная величина строго больше другой (или строго меньше другой).

Двусторонние доверительные границы применяются в тех случаях, когда при сравнении двух случайных величин представляют одинаковый интерес как положительные, так и отрицательные разницы между изучаемыми величинами.

Доверительные границы определяются в зависимости от вида закона распределения исследуемой случайной величины.

Для случая нормального распределения доверительные границы определяются по критерию Стьюдента. В соответствии с распределением Стьюдента, отклонение выборочной средней от математического ожидания при наличии выборочного объема n , ,… равно

29329\* MERGEFORMAT (.)

для нижней доверительной границы математического ожидания на основании формулы получаем

u = 30330\* MERGEFORMAT (.)

соответственно для верхней доверительной границы имеем

u 31331\* MERGEFORMAT (.)

где - выборочное среднее отклонение (см. формулу 3.3).

В формулах 3.10 и 3.11 t - коэффициенты Стьюдента, помещенные в таблице 3.1. Вход в таблицу производится по значению двухсторонней вероятности и величины степени свободы .

Если случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром и на опыте наблюдаются значения , ,…, этой случайной величины, опытное значение этого параметра определяется по уравнению

32332\* MERGEFORMAT (.)

доверительные границы находятся по формулам

33333\* MERGEFORMAT (.)

u = 34334\* MERGEFORMAT (.)

где r и r определяются по таблицам 3.2а и 3.2б

Если случайная величина имеет распределение Вейбулла с параметрами a и b, то справедливо уравнение (см. табл. 1.1)

35335\* MERGEFORMAT (.)

сравнивая эту формулу с формулой для экспоненциального распределения, можно заметить , что случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром . Зная из эксперимента значения x , можно определить по формуле (3.1) и по формуле (3.3)и по величине коэффициента вариации по таблице 1.2 определить b и K .

Определив величину b, определяем значение y

36336\* MERGEFORMAT (.)

среднее значение равно

37337\* MERGEFORMAT (.)

и

38338\* MERGEFORMAT (.)

так как для распределения Вейбулла , то

или 39339\* MERGEFORMAT (.)

Нижняя доверительная граница

или 40340\* MERGEFORMAT (.)

Верхняя доверительная граница

41341\* MERGEFORMAT (.)

и определяются по тем же таблицам .

Для параметра a распределения Вейбулла нижняя и верхняя доверительные границы определяются по зависимостям

42342\* MERGEFORMAT (.)

43343\* MERGEFORMAT (.)

2. Варианты заданий

В качестве вариантов заданий могут быть приняты варианты практического занятия №1.

3. Последовательность выполнения работы

1. Получение варианта исходных данных.

2. Определение величины по формуле (3.1) и величины по формуле (3.3).

3. Для случая нормального распределения по таблице 3.1 определяем значение t_α, задавшись значением α^* и войдя в нее по значению числа степеней свободы ;

Определяем значение нижней доверительной границы и верхней доверительной границы .

4. В случае экспоненциального распределения определяется по формуле (3.12), а нижняя и верхняя границы по формулам (3.13) и (3.14).

5. В случае распределения Вейбулла по формуле (3.19) определяется , а нижняя и верхняя границы – по формулам (3.20) и (3.21).

Таблица 3.1

З начения коэффициента Стьюдента

k	0,80	0,90	0,95	0,98	0,99	0,3995	0,999
2	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925	14,09	31,60
3	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841	7,453	12,92
4	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604	5,598	8,610
5	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032	4,773	6,869
6	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707	4,317	5,959
7	1,415	1,895	2,365	2,998	3,500	4,029	5,408
8	1,397	1,860	2,306	2,897	3,355	3,833	5,041
9	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250	3,690	4,781
10	1,372	1,813	2,228	2,764	3,169	3,581	4,587
11	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106	3,497	4,437
12	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055	3,428	4,318
13	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012	3,373	4,221
14	1,345	1,761	2,145	2,625	2,977	3,326	4,141
15	1,341	1,753	2,131	2,603	2,947	3,286	4,073
16	1,337	1,746	2,120	2,584	2,921	3,252	4,015
17	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898	3,222	3,965
18	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878	3,197	3,922
19	1,328	1,729	2,093	2,540	2,861	3,174	3,883
20	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845	3,153	3,850
22	1,321	1,717	2,074	2,508	2,819	3,119	3,792
24	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797	3,091	3,745
26	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779	3,067	3,707
28	1,313	1,701	2,048	2,467	2,763	3,047	3,674
30	1,310	1,697	2,042	2,457	2,750	3,030	3,646
40	1,303	1,684	2,021	2,423	2,705	2,971	3,551
50	1,299	1,676	2,009	2,403	2,678	2,937	3,496
60	1,296	1,671	2,000	2,390	2,660	2,915	3,460
80	1,292	1,664	1,990	2,374	2,639	2,887	3,416
100	1,290	1,660	1,984	2,364	2,626	2,871	3,391
150	1,287	1,655	1,976	2,352	2,609	2,89	3,357
200	1,286	1,653	1,972	2,345	2,601	2,839	3,340
300	1,284	1,650	1968	2,339	2,592	2,828	3,323
500	1,283	1,648	1,965	2,334	2,586	2,820	3,310
∞	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576	2,807	3,291

Таблица 3.2а

З начение коэффициента r

m	0,999	0,990	0,975	0,950	0,900	0,800
1	1000	100	40	19,5	9,50	4,48
2	44,0	13,5	8,26	5,63	3,77	2,42
3	15,7	6,88	4,84	3,66	2,73	1,95
4	9,33	4,85	3,67	2,93	2,29	1,74
5	6,76	3,91	3,08	2,54	2,05	1,62
6	5,43	3,36	2,73	2,29	1,90	1,54
7	4,60	3,00	2,49	2,13	1,80	1,48
8	4,06	2,75	2,31	2,01	1,72	1,43
9	3,67	2,56	2,19	1,91	1,66	1,40
10	3,38	2,42	2,08	1,83	1,61	1,37
11	3,15	2,31	2,00	1,78	1,57	1,35
12	2,96	2,21	1,93	1,73	1,53	1,33
13	2,83	2,13	1,88	1,69	1,50	1,31
14	2,69	2,06	1,83	1,65	1,48	1,29
15	2,59	2,01	1,78	1,62	1,46	1,28
20	2,23	1,81	1,64	1,51	1,37	1,24
25	2,02	1,68	1,55	1,44	1,33	1,21
30	1,98	1,60	1,48	1,39	1,29	1,18
40	1,72	1,50	1,40	1,32	1,24	1,16
50	1,61	1,43	1,35	1,28	1,21	1,14
60	1,56	1,38	1,31	1,25	1,19	1,12
80	1,47	1,32	1,26	1,21	1,16	1,10
100	1,40	1,28	1,23	1,19	1,14	1,09
150	1,31	1,22	1,18	1,15	1,12	1,07
200	1,26	1,19	1,16	1,13	1,10	1,06
250	1,23	1,17	1,14	1,11	1,09	1,06
300	1,21	1,15	1,12	1,10	1,08	1,05
400	1,18	1,13	1,11	1,09	1,07	1,04
500	1,16	1,11	1,09	1,08	1,06	1,04
600	1,14	1,10	1,08	1,07	1,05	1,04
800	1,12	1,09	1,07	1,06	1,05	1,03
1000	1,11	1,08	1,06	1,05	1,04	1,03

Таблица 3.2б

З начение коэффициента r

m	0,999	0,990	0,975	0,950	0,900	0,800
1	0,14	0,22	0,27	0,33	0,43	0,62
2	0,22	0,30	0,36	0,42	0,51	0,67
3	0,27	0,36	0,42	0,48	0,57	0,70
4	0,31	0,40	0,46	0,52	0,60	0,73
5	0,34	0,43	0,49	0,55	0,62	0,75
6	0,36	0,46	0,52	0,57	0,65	0,76
8	0,41	0,50	0,56	0,61	0,68	0,78
10	0,44	0,53	0,58	0,64	0,70	0,80
15	0,50	0,59	0,64	0,68	0,74	0,83
20	0,54	0,63	0,67	0,72	0,77	0,85
25	0,58	0,66	0,70	0,74	0,79	0,86
30	0,60	0,68	0,72	0,76	0,80	0,87
40	0,64	0,71	0,75	0,78	0,83	0,88
50	0,67	0,74	0,77	0,80	0,84	0,89
60	0,70	0,76	0,79	0,82	0,86	0,90
80	0,73	0,78	0,81	0,84	0,87	0,91
100	0,75	0,80	0,83	0,86	0,88	0,92
152	0,79	0,84	0,86	0,88	0,90	0,93
200	0,81	0,86	0,88	0,89	0,92	0,94
250	0,83	0,87	0,89	0,90	0,92	0,95
300	0,84	0,88	0,90	0,91	0,93	0,95
400	0,86	0,89	0,91	0,92	0,94	0,96
500	0,88	0,90	0,92	0,93	0,94	0,96
600	0,89	0,91	0,92	0,94	0,95	0,97
800	0,90	0,92	0,93	0,94	0,96	0,97
1000	0,91	0,93	0,94	0,95	0,96	0,97