1. Числовая последовательность, предел последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность

x_1, х₂, …, х_n = {x_n}

Общий элемент последовательности является функцией от n x_n = f(n)

Рассмотрим последовательность {x_n} = .

Если последовательность {x_n} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность {x_n} – возрастающая. Действительно, запишем выражение x_n+1 и сравним его с выражением x_n:

Каждое слагаемое в выражении x_n+1 больше соответствующего значения x_n, и, кроме того, у x_n+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {x_n} возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: x_n < 3.

1+1+ – это есть убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем прогрессии q= .

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой , т.е. .

2. Функции

Общие свойства

В математическом анализе исходят из определения функции по Лобачевскому и Дирихле. Если каждому числу х из некоторого множества F чисел в силу какого-либо. закона приведено в соответствие число у, то этим определена функция от одного переменного х и в общем записывается y=f(x).».

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у явля­ется функцией от переменной х. Значения зависи­мой переменной называют значениями функции. Символом f(x) обозначают значение функции, соответствую­щее значению аргумента, равному х.

Аналогично определяется функция, зависящая от нескольких переменных y=f(x)=f( ,

где х= (х ₁, ..., х _п) - точка n-мерного пространства; рассматривают также функции от точек

x=(x₁, х₂,...) некоторого бесконечномерного пространства, которые, впрочем, чаще называют функционалами.

Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной х поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции. Все значения независимой переменной образу­ют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образу­ют область значений функции. Если функция задана формулой и ее область оп­ределения не указана, то считают, что область оп­ределения функции состоит из всех значений аргу­мента, при которых формула имеет смысл. Способы задания функции: 1.      аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы); 2.      табличный способ (функция задается с помощью таблицы); 3.      описательный способ (функция задается словесным описанием); 4.      графический способ (функция задается с помощью графика). Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскос­ти, абсциссы которых равны значениям аргу­мента, а ординаты — соответствующим значениям функции. 1  Нули функции Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю . 2. Промежутки знакопостоянства функции Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.   3 Возрастание (убывание) функции. Возрастающая в некотором промежутке функ­ция - функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует большее значение функции. Функция у = f (x) назы­вается возрастающей на ин­тервале (а; b), если для лю­бых x₁ и x₂ из этого интерва­ла таких, что x₁< x₂ , спра­ведливо неравенство f(x₁)<f(x₂). Убывающая в некотором промежутке функ­ция - функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции. Функция у =f (x) назы­вается убывающей на интер­вале (а; b), если для любых  x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁< x₂, справед­ливо неравенство f(x₁)>f(x₂).