2.4 Исследование функций План полного исследования функции:

1.  Элементарное исследование: - найти область определения и область значений; - выяснить общие свойства: четность (нечетность), периодичность; - найти точки пересечения с осями координат; - определить участки знакопостоянства. 2. Асимптоты: - найти вертикальные асимптоты , если - найти наклонные асимптоты: y=kx+b, Если  k=0, b - любое число, то y=b – горизонтальные асимптоты. 3. Исследование с помощью y’ - найти критические точки, те. точки в которых  или не существует; - определить интервалы возрастания, те. промежутки, на которых и убывания функции – ; - определить экстремумы: точки, при переходе через которые меняет знак с «+» на «–», являются точками максимума, с «–» на «+» – минимума. 4. Исследование с помощью : - найти точки, в которых  или не существует; - найти участки выпуклости, т.е. промежутки, на которых  и вогнутости – ; - найти точки перегиба, т.е. точки при переходе через которые  меняет знак. 5. Построение графика функции. Рекомендации по применению плана исследования функции: 1.  Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения. 2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках. 3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.). 4.  Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

, то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел  тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.***************************

Примеры исследования функции:

20.

1) 2) Функция нечетная: . 3) Асимптоты.  x-1, x+1 – вертикальные асимптоты, т.к. Наклонная асимптота y=x  

=        – точка перегиба.

Схематичный график данной функции: 21. 1)   2) Функция нечетная: 3) Асимптоты: Вертикальных асимптот нет. Наклонные: наклонные асимптоты 4)   – функция возрастает. 5)  – точка перегиба. Схематичный график данной функции: 22. 1) 2) Функция общего вида 3) Асимптоты  – наклонных асимптот нет y=0 – горизонтальная асимптота при 4)    – точка перегиба Схематичный график данной функции: 23.   1) 2) Асимптоты.  – вертикальная асимптота, т.к.  – наклонных асимптот нет ,  – горизонтальная асимптота Схематичный график данной функции: 24. 1) 2) Асимптоты x=0 – вертикальная асимптота при , т.к.  – наклонных асимптот нет   y=1 – горизонтальная асимптота 3)  < 0 – функция убывает на каждом из промежутков. Схематичный график данной функции: 2.4.3 Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке можно воспользоваться схемой: 1.                 Найти производную функции . 2.                 Найти критические точки функции, в которых  или не существует. 3.                 Найти значение функции в критических точках, принадлежащих заданному отрезку и на его концах и выбрать из них наибольшее  и наименьшее . Пример. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на данном отрезке. 25.  на промежутке 1) 2)  – критические точки 3) ,  –  – 26.  на промежутке . Прозbводная не существует при , но 1 не принадлежит данному промежутку. Функция  убывает на промежутке , значит, наибольшего значения нет, а наименьшее значение . 7 8 9 ... 13    

Задание для самостоятельной работы Исследовать функцию на экстремумы. 1.     . 2.    . 3.   . 4.  . 5.   . 6.  . 7.  . 8.   . 9.  . 10. . Задача 16. Найти наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x,y) в данной замкнутой области. 1. Z=  в прямоугольнике 2.  в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 3.  в прямоугольнике 4.  в области, ограниченной параболой    и осью абсцисс. 5.  в квадрате 6.  в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 7.  в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 8.  в треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 9.  в области, ограниченной параболой  и осью абсцисс. 10.  в области, ограниченной параболой  и осью абсцисс.

Пример. Найти предел . (куда её?)

Так как 1 – cosx = при х0, то .

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функция f(x) имеет в точке х₂ минимум, если f(x₂ +x) > f(x₂) при любом х (х может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х₁ максимум.

Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство:

, т.е.

Тогда

По определению:

т..е. если х0, но х<0, то f(x₁)  0, а если х0, но х>0, то f(x₁)  0.

А возможно это только в том случае, если при х0 f(x₁) = 0.

Для случая, если функция f(x) имеет в точке х₂ минимум теорема доказывается аналогично.

Теорема доказана.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Пример: f(x) = x Пример: f(x) =

y y

x

x

В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни

не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-

водной.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.

Доказательство.

Пусть

По теореме Лагранжа имеем: f(x) – f(x₁) = f()(x – x₁), где x <  < x₁.

Тогда: 1) Если х < x₁, то  < x₁; f()>0; f()(x – x₁)<0, следовательно

f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

2) Если х > x₁, то  > x₁ f()<0; f()(x – x₁)<0, следовательно

f(x) – f(x₁)<0 или f(x) < f(x₁).

Так как ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x₁) в любых точках вблизи х₁, т.е. х₁ – точка максимума.

Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично. Теорема доказана.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1. Найти критические точки функции.

2. Найти значения функции в критических точках.

3. Найти значения функции на концах отрезка.

4. Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков.

Пусть в точке х = х₁ f(x₁) = 0 и f(x₁) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х₁.

Теорема. Если f(x₁) = 0, то функция f(x) в точке х = х₁ имеет максимум, если f(x₁)<0 и минимум, если f(x₁)>0.

Доказательство.

Пусть f(x₁) = 0 и f(x₁)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f(x₁) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х₁.

Т.к. f(x) = (f(x)) < 0, то f(x) убывает на отрезке, содержащем точку х₁, но f(x₁)=0, т.е. f(x) > 0 при х<x₁ и f(x) < 0 при x>x₁. Это и означает, что при переходе через точку х = х₁ производная f(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум.

Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.

Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.

Выпуклость и вогнутость кривой.

Точки перегиба.

Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой.

у

x

На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.

Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).

Доказательство. Пусть х₀  (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.

Уравнение кривой: y = f(x);

Уравнение касательной:

Следует доказать, что .

По теореме Лагранжа для f(x) – f(x₀): , x₀ < c < x.

По теореме Лагранжа для

Пусть х > x₀ тогда x₀ < c₁ < c < x. Т.к. x – x₀ > 0 и c – x₀ > 0, и кроме того по условию

, следовательно, .

Пусть x < x₀ тогда x < c < c₁ < x₀ и x – x₀ < 0, c – x₀ < 0, т.к. по условию то

.

Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).

Теорема доказана.

Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.

Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.

Доказательство. 1) Пусть f(x) < 0 при х < a и f(x) > 0 при x > a. Тогда при

x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.

1. Пусть f(x) > 0 при x < b и f(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.

Теорема доказана.

Параметрическое задание функции.

Исследование и построение графика кривой, которая задана системой уравнений вида:

,

производится в общем то аналогично исследованию функции вида y = f(x).

Находим производные:

Теперь можно найти производную . Далее находятся значения параметра t, при которых хотя бы одна из производных (t) или (t) равна нулю или не существует. Такие значения параметра t называются критическими.

Для каждого интервала (t₁, t₂), (t₂, t₃), … , (t_k-1, t_k) находим соответствующий интервал (x₁, x₂), (x₂, x₃), … , (x_k-1, x_k) и определяем знак производной на каждом из полученных интервалов, тем самым определяя промежутки возрастания и убывания функции.

Далее находим вторую производную функции на каждом из интервалов и, определяя ее знак, находим направление выпуклости кривой в каждой точке.

Для нахождения асимптот находим такие значения t, при приближении к которым или х или у стремится к бесконечности, и такие значения t, при приближении к которым и х и у стремится к бесконечности.

В остальном исследование производится аналогичным также, как и исследование функции, заданной непосредственно.

На практике исследование функций, параметрически заданных, осуществляется, например, при нахождении траектории движущегося объекта, где роль параметра t выполняет время.

Ниже рассмотрим подробнее некоторые широко известные типы параметрически заданных кривых.

Функции нескольких переменных