1.Основные понятия.

Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y²,u=xy+z² и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

 Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).

Чтобы задать функцию z=f(x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.

Например, функция z= задана только при 1-y >0, т.е. внутри эллипса y²+4x²<1 с полуосями, а=0,5 и в=1 не включая точки, лежащие на эллипсе.

 

Определение. Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…t соответствует определенное значение переменной w, то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записывается w=f(x,y,z…t).

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Например, графиком функции z=4-x²-y² является параболоид.

  Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.

            2.Непрерывность функции нескольких переменных.

Определение. Число А называется пределом функции f(M), где М(x₁,x₂,…x_n) – точка n-мерного пространства, при стремлении точки М к точке М₀(x₁⁰,x₂⁰,…x_n⁰) любым образом, если для всякого сколь угодно малого >0 существует такое число >0, что из условия , где - расстояние между точками М и М₀, следует .

Обозначается: А =

Пусть z=f(x,y). Придадим x и y приращения и . Получим приращение  функции

z=f(x,y). Если (1)

т.е. бесконечно малым аргументам соответствует бесконечно малое приращение функции, то говорят, что функция непрерывна.

Распишем x₀+ y_{0 +} ) –f( и положим x₀₊ x=x, y₀+ ,то выражение (1) можно записать в виде:

                        (2)

т.е. непрерывность функции означает, что ее предел равен ее значению от пределов аргументов.

 Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области. Если в некоторой точке не выполняется условие (2), то эта точка называется точкой разрыва.

    астные производные.

Пусть z=f(x,y). Зафиксируем какую-либо точку (x,y), а затем, не меняя закрепленного значения аргумента y, придадим аргументу x приращение Тогда z получит приращение, которое называется частным приращением z по x и обозначается  и определяется формулой

Аналогично, если x сохраняет постоянное значение, а y получает приращение , то z получает частное приращение z по y,

Определение. Частной производной по x от функции z=f(x,y) называется предел отношения частного приращения   по x к приращению при стремлении  к нулю, т.е.

Частная производная обозначается одним из символов.

Аналогично определяется частная производная по y:

                                 .

Таким образом, частные производные функции двух переменных вычисляются по тем же правилам, что и производные функции одного переменного.

Пример.

1. Найти частные производные функции z=x²e ^x-2y.

Решение.

2. Z= . Решение:

3. Z= Решение:

.

Частные производные функции любого числа переменных определяются аналогично.

Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных

 

Пусть уравнение z=f(x,y) –это уравнение поверхности. Проведем плоскость x=const.  L- линия пересечения поверхности с плоскостью x=const. При данном x на плоскости ХОУ возьмем точку М. На поверхности z=f(x,y) ей соответствует точка Р(x,y,z). Дадим переменному y приращение Тогда функция z получит приращение

 Отношение  равно тангенсу угла, образованного секущей RР с положительным направлением оси ОУ,

Итак, частная производная  численно равна тангенсу угла

наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z=f(x,y) плоскостью x=const.

 Аналогично, частная производная  численно равна тангенсу угла наклона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности z=f(x,y) плоскостью x=const.

Частные производные высшего порядка. Смешанные производные.

Как уже отмечали, что производные  и  называют частными производными первого порядка или первыми частными производными. Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные, так называемые повторные, производные по x, и y или смешанные частные производные.

Так, частные производных второго обозначаются следующим образом:

 или ;  или ;

  или ;  или ;.

Аналогично определяются частные производные 3-го, 4-го и более высоких порядков. Например, для функции z=f(x, y) имеем:

,   Частные производные второго или более высокого порядка, взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными. Для функции  таковыми являются производные . Заметим, что в случае, когда смешанные производные  непрерывны, то имеет место равенство .

Пример 5. Найти частные производные второго порядка функции

.

Решение. Частные производные первого порядка для данной функции найдены в примере 3:

Дифференцируя  и  по переменным х и y, получим

,

;

;

.

5. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Сами частные производные могут являться функциями от нескольких переменных на некотором множестве. У этих функций тоже могут существовать частные производные по x и по y. Они называются вторыми частными производными или частными производными второго порядка и обозначаются z_xx , z_yy' , z_xy или. Согласно определению ; . Последняя частная производная второго порядка называется смешанной. Смешанная частная производная второго порядка, вообще говоря, зависит от того, в какой последовательности берутся переменные, по которым вычисляется производная. Так, производная . Однако существует теорема, утверждающая, что если смешанные частные производные второго порядка непрерывны, то они не зависят от того, в какой последовательности

вычислялись частные производные по x и по y.

Дифференциал функции двух переменных

Рассмотрим функцию z = f(x,y), имеющую в точке Р₀(х₀,у₀) частные производные _x(х₀,у₀) и f _у(х₀,у₀). Перейдём от точки Р₀ к точке R₀(x₀+ x, y₀+ у), придавая переменным х и у в точке Р₀ произвольные приращения x и у, соответственно. При этом функция в точке Р₀ получит приращение

                    f(х₀,у₀) = f(x₀+ x,y₀+ y) – f(x₀,y₀) = f(R₀) – f(P₀).

Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде

        f(х₀,у₀) = f _x(х₀,у₀) x + f _у(х₀,у₀) у +  (  +  ( x; у) у,          (1)

где , то функция называется дифференцируемой в точке Р₀(х₀,у₀). Сумма первых двух слагаемых в правой части равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р₀ и обозначается df(x₀,y₀):

                               df(x₀,y₀) = f _x(х₀,у₀) x + f _у(х₀,у₀) у.                                 (2)

Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y) = х и f(x,y) = у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно dx  и у . Таким образом

                                            df = f _x dх + f _у dу.

Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует

                                     

а это означает непрерывность функции в точке (х₀,у₀). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.

Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифферен­цируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.

На рисунке 1 график функции z = f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р₀Р равна значению функции z в точке P₀,

 

  Рис.1 Поверхность функции z=f(x,y)

то есть  = f(x₀,y₀) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P₀ положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q₀, S₀ и R₀ являются пары чисел соответственно (x₀,y₀+ у); (x₀+ x,y₀) и (x₀+ x, y₀+ у), причём  = f(Q₀), S₀S = f(S₀) и = f(R₀). Приращение f(х₀,у₀) функции в точке Р₀ равно

Параллелограмм PQ₁R₁S₁ лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ₂R₂S₂ расположен в горизонтальной плоскости.

Очевидно: Q₂Q₁ = f_y(x₀,y₀)y и S₂S₁ = f_x(x₀,y₀)x.

Из легко доказываемого равенства

                                      R₂R₁ = S₂S₁ + Q₂Q₁

и формулы (2) df(x₀,y₀) = f_x(х₀,у₀)x + f_у(х₀,у₀)у.                   следует, что дифференциал функции в точке Р₀ равен R₂R₁.

Так как df(x₀,y₀)  f(x₀,y₀), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.

  

Производная по направлению.

Пусть в плоскости XOY расположена точка M₀(x₀,y₀). Зададим произвольный угол  и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул

                                  x = x₀ + t cos, y = y₀ + t sin.                                   (1)

Здесь t ‑ параметр, который может быть равен  любому числу. Из формул (1) следует:

                                          (y - y₀)/(x - x₀) = tg

Это означает, что все точки M(x,y), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M₀(x₀,y₀) и составляющей угол  с осью OX. Каждому значению t соответствует единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из расстояние между точками M₀(x₀,y₀) и M(x,y) равно t. Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное направление этой оси символом l.

l. Производной функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) по направлению l называется число

               .                (2)

Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость   пересечет  поверхность-график функции z = f(x,y) вдоль

некоторой пространственной кривой L. Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и  касательной к этой кривой в точке M₀(x₀,y₀) равен производной функции в этой точке по направлению l.

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

                    .                      (3)

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cos = 1; sin = 0. Аналогично частная производная по y — это производная по направлению, которое можно задать условиями cos = 0; sin = 1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок  или (что то же самое) вектор, причем точка M₀(x₀,y₀) является его начальной точкой, а M₁(x₁,y₁) ‑ конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x₁ ‑ x₀, а координату по оси , как число, равное y₁ ‑ y₀. Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b, то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора  в плоскости XOY, причем длина этого вектора определена формулой

                                            ,

а тангенс угла наклона  вектора к оси OX определяется из формулы tg = b/a (отметим, что зная величину tg , а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол   с точностью до 2 ).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде  . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY. Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора:  и , то скалярным произве­дением  этих векторов называется число  (‑ угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов  и  равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

                                           = a₁b₁ + a₂b₂.                                             (4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам.

Градиентом или вектором-градиентом  функции f(x,y) в точке (x,y)  G называется вектор, который задается формулой

                              .

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси Ox, равный .

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y) по направлению, определяемому углом  наклона к оси OX, в точке M₀(x₀,y₀) может быть вычислена по формуле

                               .                                 (5)

Здесь   ‑ угол между вектором  и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что

Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z = f(x,y) в точке M₀(x₀,y₀) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cos  1, и равенство достигается только если  = 0 (очевидно, что другие решения уравнения cos = 1  нас в данном случае не инте­ресуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.

Пример. Требуется найти производную функции z=  по направлению, составляющему угол в 60 с осью OX, в точке (1;3).

Решение. Найдём частные производные функции:

;

 Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3):

Принимая во внимание, что cos , sin = т.е. , воспользуемся формулой производной по направлению , получим:

 

Экстремум функции двух переменных.

Точка M₀(x₀,y₀) является точкой максимума (минимума) функции z = f(x,y), если найдется такая окрестность точки M₀, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство  f(x,y)< f(x₀,y₀) или ( f(x,y)> f(x₀,y₀)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

 

 

Рис.1 -точка максимума Рис.2 -точка минимума

Сформулируем необходимые и достаточные условия существования экстремума:

Определение Точка  называется точкой минимума (максимума) функции z=f(x;y, если существует такая окрестность точки , что для всех точек M(x;y) из этой окрестности выполняется неравенство f или f .

Точки минимума и максимума функции z=  .называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно).

Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке  сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к .

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если  – точка экстремума дифференцируемой функции z=  ., то ее частные производные  и  в этой точке равны нулю:  и  

Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция z=  . может иметь экстремум, а может и не иметь.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция z=  .: а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой  и  

; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка  

      . Тогда, если , то функция z=  .: в точке  имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция z=  .: в точке  экстремума не имеет. В случае  вопрос о наличии экстремума остается открытым.

При исследовании функции двух переменных на экстремум рекомендуется использовать следующую схему:

1. Найти частные производные первого порядка:  и .

2. Решить систему уравнений  и найти критические точки функции.

3. Найти частные производные второго порядка: , , .

4.  Вычислить значения частных производных второго порядка в каждой критической точке и, используя достаточные условия, сделать вывод о наличии экстремума.

5.   Найти экстремумы функции.

Пример 1. Найти экстремумы функции z= .

Решение. 1. Находим частные производные   и  :

, .

2. Для определения критических точек решаем систему уравнений

 

Из первого уравнения системы находим: y= . Подставляя найденное значение y во второе уравнение, получим или , x( ,

Откуда .

Находим значения y, соответствующие значениям .

. Подставляя значения .  в уравнение , получим: .

Таким образом, имеем две критические точки:  и .

3. Находим частные производные второго порядка:

; ; .

4. Вычисляем значения частных производных второго порядка в каждой критической точке. Для точки    имеем:

, , .

Так как

,

то в точке   экстремума нет.

В точке .:

, ,

и, следовательно,

.

Значит, в силу достаточного условия экстремума, в точке . функция имеет минимум, так как в этой точке  и A>0.

5. Находим значение функции в точке .:

.

6. Условный экстремум

В теории функций нескольких переменных иногда возникают задачи, когда экстремум функции нескольких переменных необходимо найти не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть z=f(x;y) – функция двух переменных, аргументы x и y которой удовлетворяют условию g(x;y)=C, называемому уравнением связи.

Определение 8. Точка  называется точкой условного минимума (максимума) функции z=f(x;y), если существует такая окрестность точки , что для всех точек M(x;y) из этой окрестности, удовлетворяющих условию g(x;y), выполняется неравенство f( , (f( )

Если уравнение связи g(x;y)=C можно разрешить относительно одной из переменных (например, выразить y через x: y= , то задача отыскания условного экстремума функции двух переменных сводится к нахождению экстремума функции одной переменной. Для этого подставляют найденное значение y= , в функцию двух переменных. В результате получают функцию одной переменной x: z=f(x, . Ее экстремум и будет условным экстремумом функции z=f(x;y).

Пример 7. Найти экстремумы функции z=3  -7 при условии, что ее аргументы удовлетворяют уравнению связи y-3x= -1.

Решение. Из уравнения связи находим функцию y=3x-1 и подставляем ее в функцию z. Получим функцию одной переменной

или z(x)=3 - 6x-5

Находим экстремум данной функции:

6x - 6= 0, x=1 - критическая точка первого рода (точка, подозрительная на экстремум). Так как то в точке x=1 функция z(x) имеет локальный минимум. Из уравнения связи находим: y=3 . Следовательно, функция

в точке M91;2) имеет условный минимум:

.

Метод наименьших квадратов

Пусть проводится n однородных испытаний или экспериментов, и результатом каждого испытания является пара чисел – значений некоторых переменных x и y. Испытание с номером i приводит к числам x_i, y_i. В качестве испытания можно, например, рассматривать выбор определенного предприятия в данной отрасли промышленности, величиной x считать объем производства продукции (например в миллионах рублей), величиной y – объем экспорта этого вида продукции (в миллионах рублей), и обследовать n предприятий отрасли.

Итогом этих испытаний является таблица:

			. . .
			. . .

где каждому числу x_i (величину  рассматриваем как независимый показатель или фактор) поставлено в соответствие число  (величину  рассматриваем как зависимый показатель – результат).

В качестве значений  часто рассматриваются моменты времени: t₁, t₂, ..., t_n, взятые через равные промежутки. Тогда таблица

			. . .
			. . .

называется временным рядом.

Нас интересует вопрос, как найти приближенную формулу для функции y = f(x), которая “наилучшим образом” описывала бы данные таблицы.

Пусть точки с координатами (x_i,y_i) группируются на плоскости вдоль некоторой прямой. Задача заключается в том, чтобы найти параметры a₀ и a₁ этой прямой:

                                                y = a₀ + a₁x,                                                 (1)

причем это нужно сделать так, чтобы она лучше любой другой прямой соответствовала расположению на плоскости экспериментальных точек (x_i, y_i).

Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (1). Эта сумма квадратов рассчитывается по формуле

S² = (y₁ – (a₀ + a₁x₁))² + (y₂ – (a₀ + a₁x₂))² +...+ (y_n – (a₀ + a₁x_n))² =

                                       .

Обратим внимание на то, что все x_i и y_i — известные из таблицы числа, а S² есть функция двух переменных a₀ и a₁.

                                               S² = S²(a₀,a₁)

 

Можно показать, что график функции S² выглядит примерно так, как изображено на рисунке. Единственная точка, в которой обе частные производ­ные и  равны нулю, является точкой минимума.

 

Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума:

            (2)

.                     (3)

На самом деле для функции S² = S²(a₀,a₁) достаточно легко проверить выполнение достаточных условия экстремума. тогда Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:

                                   .                                     (4)

Получилась так называемая система нормальных уравнений относительно неизвестных величин a₀ и a₁.

Формула (1) с параметрами a₀, a₁ определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.

Если экспериментальные точки в плоскости XOY группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую подходящую формулу, например, y = a₀ + a₁x + a₂x² или y = a₀ exp(a₁x) с параметрами соответственно a₀, a₁, a₂ и a₀, a₁, подставить ее в выражение  и искать минимум получившейся функции S² при помощи частных производных по параметрам.