4.1 Определение производной

Производная  или f’(x) от данной функции  y=f(x) есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:  или . Механический смысл производной – скорость изменения функции. Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:

2.2 Основные правила дифференцирования

Наименование	Функция	Производная
Умножение на постоянный множитель	cy	cy’
Алгебраическая сумма двух функций	u+v	u’+v+
Произведение двух функций	uv	u’v+uv’
Частное двух функций
Сложная функция	y=f(u) u=	y’=

Производные основных элементарных функций

№ п/п	Наименование функции	Функция и её производная
1	Константа С	С’=0
2	Степенная функция Частные случаи
3	Показательная функция Частный случай
4	Логарифмическая функция Частный случай
5	Тригонометрические функции
6	Обратные тригонометрические функции

Пример 17

Производная сложной функции.

На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто. Правило дифференцирования сложной функции в общем виде таково:  . Можно так сказать: «производная сложной функции равна произведению производных»

Здесь у нас две функции – u и v, причем функция v, образно говоря, вложена в функцию u. Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией. Например, y=lnsinx.

Здесь в логарифм вложена функция синус. Поэтом в начале берём производную от логарифма, а затем производную от аргумента, т.е. от синуса.

Пример двойного вложения. = =

Другие примеры

Найти производную функции:

1.у= =28

Здесь главной является степенная функция. Соответственно производня берются по правилам степенной функции:

2.Найти производную. Здесь в символах u(v) главной является функция arctg, а аргументом является , поэтому по таблице производных распишем:

3. Найти производную y= ; Здесь главной функцией является степенная зависимость, которую лучше представить в виде y= и далее применить формулу

4. Сравните результаты производных двух функций: y= и y=sin .

и

5. Найти производную функции y=y=

Здесь имеется корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:

=

= = .

6. Найти производную функции

Здесь можно использовать правило дифференцирования частного

= =

= .

7. Найти производную функции y= . Число 22 являтся основанием показательной функции.

Это есть показательная функция, которая дифференцируется по правилу:

, т.е. эта функция вначале повторяется. затем умножается на натуральный логарифм от основания и далее берётся производная от степени. Твким образом, имеем:

=

8.Найти производную y=

Когда в показательной функции основанием является не число, а функция, такая функция называется сложно показательной функцией. Вычисление производной при этом производится через логарифмирование функции по формуле:

y= lny=ln ;

. Таким, образом можем для данной функции записать:

= 3lnsin2x+3x

Или окончательно:

Производная функции, заданная параметрически

Пусть задана функция y=f(x) через параметр t:

x=x(t) и y=y(t). Необходимо определить производную . Выразим эту производную через отношения дифференциалов:

= - это есть производная первого порядка.

Определим теперь производную второго порядка. Для этого представим вычисление второй производной как повторная производная от первой производной:

=

Пример.

1. Найти первую и вторую производные от функции.

x = 3

y = cos2t

Решение .

=

Задание для самостоятельной работы

Найти производную функций: Ответы:

1. y= 1.

2. y= 2.6

3. y=

4. y=ctg2x

5.y=

.

Дифференциал функции

Понятие дифференциала

Пусть функция y = f(x) дифференцируема при некотором значении переменной x . Следователь-но, в точке x существует конечная производная .Тогда по определению предела функции разность  является бесконечно малой величиной при . Выразив из этого равенства приращение функции, получим

                    (1)

(величина y  не зависит от , т. е. остаётся постоянной при ).

Если y’ , то в правой части равенства (1) первое слагаемое линейно относительно . Поэтому при оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и

. Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение  стремится к нулю при .

Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (1) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при y’ ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью y’ , т.е

(2)

               

Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают dy или df(x).

Следовательно, dy=y’ или df(x)=f’(x)                                  (3)

Итак, дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной.

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции y = f(x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении x на величину .

Поскольку производная  -- это угловой коэффициент касательной к графику функции при x= , то дифференциал  - это приращение ординаты Y точки касательной

к графику функции y=f(x), когда абсцисса точки касательной получает приращение :

Рис.1Дифференциал равен приращению ординаты касательной

Примеры Найти дифференциалы функций:

1) y= 2) y= 3) y=lnx 4) y=ln( )

Решение.

Применяя правила дифференцирования степенной и логарифмической функций,

находим:

1) dy=6 ; 2) dy=3 3) dy= ; 4) dy=

Свойства дифференциала

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:

dc=0 (С – постоянная величина) 

                                                            

                                     

                            

Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Установленное приближенное равенство позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.

Запишем приближенное равенство более подробно.

Так как , a dy=f , то f( или

f( ,+ (4)

Пример 1.

Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно ln 1,01.

Решение. Число ln 1,01 является одним из значений функции y = ln x . Формула (4) в данном случае примет вид

П оложим , тогда

Следовательно, ln(1.01)=ln(1+0.01) , что является очень хорошим приближением: табличное значение ln 1,01 = 0,0100.

Пример 2.

Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно . Оценить точность полученного результата.

Решение. Рассмотрим функцию . Её производная равна y = , а формула (4) примет вид

Здесь удобно предварительно представить под корнем 7=8-1 и вынести из под корня число 2,

приняв

=   =2 -

Принимая табличное значение корня , )абсолютная и относительная погрешности приближенного значения равны: