3. Показатель , где - натуральное число.

В этом случае степенная функция , обладает следующими свойствами:

• Область определения – множество , кроме ;

• Множество значений – положительные числа ;

• Функция чётная, так как ;

• Функция является возрастающей на промежутке и убывающей на промежутке ;

• Функция ограничена снизу;

• Функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции (рис.7).

Рис. 7

Прямую называют горизонтальной асимптотой графика функции . Прямую (ось ординат) называют вертикальной асимптотой графика этой функции (при значениях , приближающихся к нулю, расстояние от точек этого графика до прямой становятся сколь угодно малыми).

4. Показатель , где - натуральное число.

В этом случае степенная функция , где обладает следующими свойствами:

• Область определения – множество , кроме ;

• Множество значений – множество , кроме ;

• Функция нечётная, так как ;

• Функция является убывающей на промежутках и ;

• Функция ограничена снизу;

• Функция не принимает ни наибольшего, ни наименьшего значения.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции (рис. 8).

Рис. 8

Ось абсцисс является горизонтальной асимптотой, а ось ординат – вертикальной асимптотой графика функции.

5. Показатель - положительное действительное нецелое число.

В этом случае степенная функция обладает следующими свойствами:

• Область определения – множество неотрицательных чисел ;

• Множество значений – множество неотрицательных чисел ;

• Функция является возрастающей на промежутке ;

• Функция не является ни чётной, ни нечётной;

• Функция ограничена снизу;

• Функция принимает наименьшее значение при .

График функции , где - положительное действительное нецелое число имеет такой же вид, как, например, график функции (при ) или как, например, график функции (при ) (рис. 9, а, б).

Рис. 9

6. Показатель - отрицательное действительное нецелое число.

В этом случае степенная функция обладает следующими свойствами:

• Область определения – множество положительных чисел ;

• Множество значений – множество положительных чисел ;

• Функция является убывающей на промежутке ;

• Функция не является ни чётной, ни нечётной;

• Функция ограничена снизу.

График функции , где - отрицательное действительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции (рис. 10).

Рис. 10

Упражнения с решениями

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

Решение. Функция на отрезке убывает при , возрастает при , следовательно, она принимает наименьшее значение, равное нулю, при . Наибольшее значение этой функции – наибольшее из чисел и . Так как , , то и наибольшее значение равно 64.

Пример 2. Найти точки пересечения графиков функций и .

Решение. Для нахождения точек пересечения этих графиков решим уравнение . Левая часть этого уравнения имеет смысл при всех , а правая – только при .

При функция совпадает с функцией , поэтому уравнение можно записать так: . Возводя это уравнение (при ) в куб, получаем , откуда , , . Получили две точки пересечения графиков – (0;0) и (1;1).