Задания к практическому занятию
Задание 1. Изобразите схематически график функции:
;
;
;
;
.
Задание 2. Укажите область значений функции:
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
.
Задание 3. С помощью графика функции найти приближенные значения:
;
;
;
.
Задание 4. Найти координаты точки пересечения графиков функций:
и
;и
;
и 
;
и 
.
Контрольные вопросы
Дайте определение показательной функции.
Является ли показательная функция монотонной?
Перечислите основные свойства показательной функции.
Рекомендуемая литература: 1.1, 1.3, 1.4, 2.1
Практическое занятие №20
Тема: Логарифмическая функция: определения, свойства, график
Цель: формирование навыков нахождения области определения, множества значений логарифмической функции, построения графиков логарифмических функций
Вид работы: индивидуальный
Время выполнения: 2 часа
Теоретические сведения
Так как показательная
функция
(где 
,
)
является монотонной (возрастающей при
и убывающей при
),
то она имеет обратную функцию. Чтобы
найти эту обратную функцию, нужно из
формулы
выразить х
через у:
,
а затем поменять обозначения х
на у
и у
на х; тогда
получим
.
Функция
(где
,
)
называется логарифмической.
Итак, показательная и логарифмическая функции при одном и том же основании являются взаимно обратными функциями.
График логарифмической функции можно построить, воспользовавшись тем, что функция обратна показательной функции . Поэтому достаточно построить график функции , а затем отобразить его симметрично относительно прямой у=х. На рисунке 21 изображен график функции при , а на рисунке 22 - график функции при .
Рис. 21 Рис. 22
Свойства функции при :
а) 
;
б) 
;
в) функция возрастает;
г) если 
,
то 
;
д) если 
,
то 
;
е) если 
,
то 
.
Свойства функции при :
а) ;
б) ;
в) функция убывает;
г) если , то ;
д) если , то ;
е) если , то .
Упражнения с решениями
Пример 1.
Найти область определения функции: 1)
;
2) 
;
3) 
.
Решение. 1)
Область определения логарифмической
функции – множество положительных
чисел, значит, заданная функция будет
определена только для таких х,
при которых 
,
т.е. при 
.
Таким образом, областью определения
заданной функции является интервал
.
Как и в первом примере, логарифмическая функция f определена для таких х, при которых
.
Решая это квадратное неравенство
методом интервалов, получаем, что 
– объединение интервалов 
и 
.
Решая методом
интервалов неравенство 
,
,
находим, что 
.
Пример 2.
Построить график функции: 1) 
;
2) 
;
3) 
.
Решение.
1) Так как область определения данной
функции – множество положительных
чисел, поэтому должно выполняться
неравенство
.
Таким образом, областью определения
функции служит промежуток 
Кривая пересекает
ось Ох
в точке 
,
так как при у=0
получаем 
,
т. е. 
.
График функции изображен на рисунке 23.
Рис. 23
Должно выполняться неравенство , т. е.
.
Следовательно, областью определения
данной функции является 
.
Найдем точки
пересечения графика с осью Ох.
Полагая у=0,
получим 
,
откуда 
;
.
График функции изображен на рисунке 24
Рис. 24
Искомый график получается параллельным переносом графика функции
на вектор 
.
Для построения графика функции
построим график функции 
при
и отразим его относительно Оy.
Рис. 25
Задания к практическому занятию
Задание 1. Найдите область определения функции:
;
;
;
;
;
.
Задание 2. Постройте график функции
;
;
;
;
.
Контрольные вопросы
Дайте определение логарифмической функции. Приведите примеры.
Сформулируйте свойства логарифмической функции.
Рекомендуемая литература: 1.3, 1.4
Практическое занятие №21
Тема: Тригонометрические функции: определения, свойства, график
Цель: формирование навыков построения графиков основных тригонометрических функций, определения их области определения и множества значений
Вид работы: индивидуальный
Время выполнения: 8 часов
Теоретический материал
Функция 
Основные свойства
функции 
:
а) область определения – множество всех действительных чисел;
б) множество
значений – отрезок 
,
значит, синус – функция ограниченная;
в) функция нечетная:
для всех 
;
г) функция
периодическая с наименьшим положительным
периодом 
,
т.е. 
для всех
;
д) 
при 
;
е) 
для всех 
;
ж) 
для всех 
;
з) функция возрастает
от -1 до 1 на промежутках 
;
и) функция убывает
от 1 до -1 на промежутках 
;
к) функция принимает
наибольшее значение, равное 1, в точках
;
л) функция принимает
наименьшее значение, равное -1, в точках
.
График функции изображен на рисунке 26. Кривая, являющаяся графиком функции , называется синусоидой.
Рис. 26
Функция 
Основные свойства
функции 
:
а) область определения – множество всех действительных чисел;
б) множество значений – отрезок , значит, косинус – функция ограниченная;
в) функция четная:
для всех
;
г) функция
периодическая с наименьшим положительным
периодом
,
т.е. 
для всех
;
д) 
при 
;
е) 
для всех 
;
ж) 
для всех 
;
з) функция убывает
от -1 до 1 на промежутках 
;
и) функция возрастает
от 1 до -1 на промежутках 
;
к) функция принимает
наибольшее значение, равное 1, в точках
;
л) функция принимает
наименьшее значение, равное -1, в точках
.
Рис. 27
Функция 
Основные свойства
функции 
:
а) область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ;
б) множество значений – вся числовая прямая, таким образом, тангенс – функция неограниченная;
в) функция нечетная:
для всех
из области определения;
г) функция
периодическая с наименьшим положительным
периодом 
,
т.е. 
для всех
из области определения;
д) 
при
;
е) 
для всех 
;
ж) 
для всех 
;
з) функция возрастает
на промежутках 
.
Рис. 28
Функция 
Основные свойства
функции 
:
а) область определения – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида ;
б) множество значений – вся числовая прямая, таким образом, котангенс – функция неограниченная;
в) функция нечетная:
для всех
из области определения;
г) функция
периодическая с наименьшим положительным
периодом
,
т.е. 
для всех
из области определения;
д) 
при
;
е) 
для всех
;
ж) 
для всех
;
з) функция убывает
на каждом из промежутков 
.
Рис.29