Контрольные вопросы

1. Какое событие называют случайным?

2. Какое событие называют невозможным?

3. Какое событие называют достоверным?

4. Что называется объединением событий?

5. Что называется пересечением событий?

6. Какие события называются равносильными?

7. Какие события называются противоположными?

8. Дайте определение вероятности.

9. Сформулируйте теорему сложения двух вероятностей.

10. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?

11. Какие события называются независимыми?

12. Дайте определение относительной частоты событий.

Рекомендуемая литература: 1.1

Практическая работа №43

Тема: Основные понятия математической статистики: генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана

Цель: формирование навыков нахождения предела функции

Вид работы: индивидуальный

Время выполнения: 8 часов

Теоретический материал

Статистика занимается сбором, представлением (в виде таблиц, диаграмм, графиков и др.) и анализом информации о различных случайных величинах.

Случайными величинами называют такие величины, которые в ходе наблюдений или испытаний могут принимать различные значения. Можно говорить о том, что их значения зависит от случая.

Различают непрерывные и дискретные случайные величины. Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате испытания принимает отдельные изолированные значения. Например: Производится 3 выстрела по цели. Случайная величина х - это число попаданий в цель, тогда х может принимать значения: 0, 1, 2, 3.

Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого промежутка. Значения могут быть конечными и бесконечными. Например: Время безаварийной работы станка; расход горючего на единицу расстояния; количество осадков, выпавших в сутки.

Случайные величины будем обозначать заглавными буквами конца латинского алфавита - X, Y, Z, а их возможные значения - соответствующими малыми буквами - х, у, z. Например, X - число шахматных партий, окончившихся ничейным результатом, из трёх сыгранных. В этом случае величина X может принять следующие значения: .

В статистике исследуют различные совокупности данных – числовых значений случайных величин с учетом частот, с которыми они встречаются в совокупности. При этом совокупность всех данных называют генеральной совокупностью, а любую из нее часть – выборкой. В статистических исследованиях выборку называют репрезентативной, если в ней присутствуют те и только те значения случайной величины, что и в генеральной совокупности, причем частоты имеющихся в ней данных находятся практически в тех же отношениях, что и в генеральной совокупности.

Совокупность данных иногда бывает полезно охарактеризовать (оценить) одним числом – мерой центральной тенденции числовых значений ее элементов. К таким характеристикам относятся мода, медиана и среднее.

Мода (обозначают ) – это значение случайной величины, имеющее наибольшую частоту в рассматриваемой выборке.

Например, мода выборки 7, 6, 2, 5, 6, 1 равна 6; выборка 2, 3, 8, 2, 8, 5 имеет две моды: .

Медиана (обозначают ) – это число (значение случайной величины), разделяющее упорядоченную выборку на две равные по количеству данных части. Если в упорядоченной выборке нечетное количество данных, то медиана равна серединному из них. Если в упорядоченной выборке четное количество данных, то медиана равна среднему арифметическому двух серединных чисел.

Пример 1. Найти медиану выборки значений случайной величины 1) 5, 9, 1, 4, 5, -2, 0; 2) 7, 4, 2, 3, 6, 1.

Решение. 1) Расположим элементы выборки в порядке возрастания: -2, 0, 1, 4, 5, 5, 9. Количество данных нечетно. Слева и справа от числа 4 находятся по 3 элемента, т.е. 4 – серединное число выборки, поэтому .

2. Упорядочим элементы выборки: 1, 2, 3, 4, 6, 7. Количество данных четно. Серединные данные выборки: 3 и 4, поэтому .

Среднее (или среднее арифметическое) выборки – это число, равное отношению суммы всех чисел выборки к их количеству. Среднее арифметическое обозначают .

Пример 2. Найти среднее выборки значений случайной величины , распределение которых по частотам представлено в таблице.

	2	3	4	8	10
	1	2	3	1	1

.

Одной из наиболее распространённых характеристик выборки значений случайной величины, чье распределение по вероятностям известно, является так называемое математическое ожидание.

Пусть распределение по вероятностям значений некоторой случайной величины задано таблицей.

				…
				…

Тогда число , где

, ()

Называют математическим ожиданием (или средним значением) случайной величины .

Разность наибольшего и наименьшего значений случайной величины выборки называется ее размахом и обозначается .

Рассмотрим пример.

На место токаря претендуют двое рабочих. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были изготавливать одинаковые детали. Результаты работы претендентов представлены в таблице.

Каждый из рабочих за 5 дней изготовил 250 деталей, значит, средняя производительность труда за день у обоих рабочих одинаковая:

(дет./день).

День недели	Дневная выработка
	Первого рабочего	Второго рабочего
Понедельник	52	61
Вторник	54	40
Среда	50	55
Четверг	48	50
Пятница	46	44

Моды у предложенных совокупностей отсутствуют, а медианы одинаковые (50 и 50). Кого же из этих рабочих предпочтительнее взять на работу? В данном случае в качестве критерия сравнения совокупностей может выступать стабильность производительности труда рабочего. Ее можно оценивать с помощью отклонений от среднего значения элементов совокупности.

Отклонением от среднего называют разность между рассматриваемым значением случайной величины и средним значением выборки.

Например, если значение величины , а значение среднего , то отклонение от среднего будет равно .

Очевидно, отклонение от среднего может быть как положительным, так и отрицательным числом. Сумма отклонений всех значений выборки от среднего значения равна нулю. Поэтому характеристикой стабильности элементов совокупности может служить сумма квадратов отклонений от среднего.

День недели	Значение случайной величины		Отклонение от среднего		Квадраты отклонений
Понедельник	48	50	-2	0	4	0
Вторник	54	40	4	-10	16	100
Среда	50	55	0	5	0	25
Четверг	52	61	2	11	4	121
Пятница	46	44	-4	-6	16	36
Сумма	250	250	0	0	40	282

Из предложенной таблицы видно, что у второго рабочего сумма квадратов отклонений от среднего больше, чем у первого рабочего:

.

На практике это означает, что второй рабочий имеет нестабильную производительность труда.

Если бы рабочие работали разное количество дней и производили в среднем за день одинаковое число деталей, то стабильность работы каждого из них можно было бы оценить по величине среднего арифметического квадратов отклонений.

Такая величина называется дисперсией и обозначается буквой .

Для случайной величины , принимающей различных значений и имеющей среднее значение , дисперсия находится по формуле

. ()

Для оценки степени отклонения от среднего значения удобно иметь дело с величиной той же размерности, что и сама величина . С этой целью используют значения корня квадратного из дисперсии .

Корень квадратный из дисперсии называют средним квадратичным отклонением и обозначают , т.е. .

Дисперсию и среднее квадратичное отклонение в статистике называют также мерами рассеивания значений случайной величины около среднего значения.