Найбільше і найменше значення функції.
Неперервна на відрізку [a:в] функція f(x) набуває своїх найбільшого та найменшого значень, або в критичних точках, що належать цьому відрізку, або на його кінцях.
Схема дослідження.
1 Знайти похідну
2
Знайти критичні точки першого роду
3 Вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку.
4 Обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізку.
5 Порівняти одержані значення і вибрати з них найбільше та найменше.
Приклад
11. Знайти
найбільше та найменше значення функції
на відрізку хє [1:3].
Розв’язання.
1)
2
)
Заданому відрізку [1:3] належить лише точка х=2
У(1)=2: у(2)= -6: у(3)=4
Модуль 5 Інтегральні числення функцій.
Інтегрування – це дія, обернена до диференціювання. А саме по відомій похідній відшукують функцію, від якої знайдена ця похідна.
Означення 1. Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо для них справедлива рівність
F′(x) = f(x)
Означення 2. Сукупність усіх первісних F(x) +C для функції f(x) називається невизначеним інтегралом.
де
-
знак інтеграла
f(x)dx – підінтегральний вираз;
f(x) – підінтегральна функція;
F(x) – первісна ;
С – довільна стала.
Властивості невизначеного інтеграла
1) Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції
( ) = f(x),
2) Диференціал від невизначеного інтегралу дорівнює підінтегральному виразу
d = f(x)dx,
3) Невизначений інтеграл від диференціалу функції f(x) дорівнює самій цій функції, складеній з постійною С
=
F(x)
+C,
4) Постійний множник виноситься за знак невизначеного інтеграла
=
k
,
де k
= Const,
5) Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від кожної з них
=
.
Основні формули інтегрування
1)
=
x
+
C
2)
n
dx
=
+ C
(n
-1)
3)
=
= ln |x| + C
4)
dx
= ex
+
C
5)
=
+
C
6)
= - cos x + C
7)
=
sin x + C
8)
=
tg x + C
9)
=
-
ctg x + C
10)
=
arctg x + C
11)
=
arcsin x
+
C
Методи інтегрування
Безпосереднє інтегрування
Інтегрування за допомогою підстановки (заміни змінних)
Інтегрування частинами
Безпосереднє інтегрування – це такий спосіб інтегрування, при якому даний інтеграл шляхом тотожних перетворень підінтегральної функції і використанні властивостей невизначеного інтеграла приводиться до одного або декількох табличних інтегралів.
Приклад
1.
Розв'язання.
Виходячи
з визначення степені з від'ємним
показником (a-n
=
)
знайдемо невизначений інтеграл опираючись
на формулу (2
)
=
3
=
3
+
С =
-
+
С.
Приклад
2.
dx
Розвя'зання.
Використовуємо визначення степені з дробовим показником, правилами дій над степеню з однаковими основами, правилом ділення суми на число і знайдемо інтеграл від кожного доданку окремо. Маємо:
dx
=
dx
=
dx
=
dx
= 5
-
=
5
-
+
C
= 5
-
+ C
= 3
-
+ C
Приклад
3.
Розв'язання.
Використовуючи властивості інтеграла 4,5, та формули 6,1, маємо:
=
=
-cosx
+5
+
C