Інтегрування методом підстановки
Суть цього методу полягає у тому, що шляхом введення нової змінної можна звести даний інтеграл до нового інтегралу, який, порівняно легко, береться безпосередньо.
Для інтегрування методом підстановки можна використовувати таку схему:
1.частину підінтегральної функції треба замінити новою змінною;
2.знайти диференціал від обох частин заміни;
3.весь підінтегральний вираз виразити через нову змінну (після чого повинен отриматися табличний інтеграл);
4.знайти отриманий табличний інтеграл;
5.зробити обернену заміну.
Приклад
4.
Розв'язання.
Спочатку припустимо 2+cosx = t, тоді – sinxdx =dx, звідки sinxdx = -dt. Далі маємо:
=
=
–
=
–
+
С = –
Приклад 5.
Розв'язання.
Зробимо
підстановку 5-3x
= t,
тоді -3dx=dx,
звідки dx
=
Далі маємо:
=
=
=
= –
+ С =
+ С
Інтегрування частинами
=
U·V
-
-
формула інтегрування частинами
Отже,
знаходження інтегралу
зводиться до знаходження інтегралу
,
якщо останній буде простіший заданого.
Приклад
6.
Розв'язання.
Нехай
U=x;
dV=sinx
dx;
тоді dU
=dx;
=
,
тобто V
= – cosx.
Підставимо
у формулу інтегрування частинами і
одержимо:
= -x cosx + = –x cosx + sinx + C.
Визначений інтеграл
Визначення: приріст F(b) – F(a) будь-якої із первісних функцій F(x) + C при зміні аргументу від x =a до x=b називається визначеним інтегралом і позначається
=
F(b)
– F(a),
де
a
– нижня межа інтегрування,
b
– верхня межа.
Властивості визначеного інтеграла
Визначений інтеграл з однаковими межами дорівнює нулю.
=0
2.Якщо переставити межі інтегрування місцями, то знак визначеного інтеграла зміниться на протилежний.
= –
3.Відрізок інтегрування можна розбивати на частини.
=
+
,
де а<с<b
4.Постійний множник виноситься за знак інтеграла.
=
с ·
5.Інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі інтегралів від всіх доданків.
=
Правило обчислювання визначеного інтеграла.
Знайти відповідний визначений інтеграл. В одержаний вираз підставити замість x спочатку верхню межу, а потім нижню межу інтегрування і від першого результату підстановки відняти другий.
Інтегрується визначений інтеграл тими ж самими методами, що і визначений.
Безпосередній метод
Приклад
7.
Розв'язання.
=
=
(42-
)
=
(16-
)
=
·
=
= 7
Приклад
8.
Розв'язання.
=
-
=
(tgx+cosx)
= (tg
+cos
)
–
(tg
(-
)+cos(-
))
= (1+
)
- (-1+
)
= 2
Метод підстановки
Приклад
9.
Розв'язання.
Позначимо через z вираз (1-x2) z = 1-x2, продиференціюємо його.
dz = (1-x2)'dx
dz
= -2xdx,
виразимо dx,
dx
= -
.
Знайдемо
нові межі інтегрування, замінивши в
рівності z
= 1-x2
аргумент x
на 0 та
.
Zn = 1 - 0 = 1 (нижня межа)
Z6 = 1 - ( ) (верхня межа нової змінної).
Переходимо до нової змінної
=
5
= -
=
-
=
-
·
=
·
=
(
)
=
(
)
=
·
=
Приклад
10.
Розв'язання.
Нехай
cosx
= t,
тоді –sinx
dx
=dx.
Визначимо межі інтегрування для змінної
t;
tB=
cos
= 0; t4=
cos
0 = 1.
=
=
-
=
=
=
=
.