Диференціальні рівняння.

Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежну зміну х, шукану функ цію у та її похідну .

.

Порядок диференціального рівняння визначає порядок найвищої похідної.

Розв’язати диференціальне рівняння це значить звільнитись у рівнянні від похідних, або диференціалів.

Функція y=( x, c ), яка залежить від аргументу х і довільної сталої с, називається загальним розв’язком рівняння.

Частинним розв’язком рівняння називається функція y=( x, c ) при певному значенні сталої с=с_о .

Задача, яка складається з находження частинного розв’язку диференціального. рівняння із загального, використовуючи початкові умови, називається задачею Коші.

Елементарним диференціальним рівнянням першого порядку є рівняння з відокремлюваними змінними.

Рівняння виду (1) - називається диференціальним рівнянням з відокремлюванними змінними.

Правило розв’язування диференціальних рівнянь з відокремлюванними змінними:

1) відокремлюємо змінні;

Для цього замінимо на , поділимо обидві частини рівняння (1) на q(y) і помножимо на dx, тоді рівняння (1) запишеться у вигляді:

(2) .

2) проінтегруємо обидві частини рівняння (2), отримаємо загальний розв’язок;

3. маючи початкові умови розв’язуємо задачу Коші.

Приклад 1. Розв’язати рівняння x ( y²+1) dx + y ( x² - 1 ) dy = 0 .

Розв’язання:

Поділимо всі члени рівняння на добуток ( y² + 1)( x² - 1 ), одержимо:

, або

Інтегруємо обидві частини

маємо

Скоротивши на і пропотенціювавши останній вираз маємо - це загальний розв’язок даного рівняння .

Приклад 2. Знайти частинний розв’язок рівняння 2ydx=(1+x)dy, якщо y=4, коли x=1.

Розв’язання:

Відокремимо змінні, для цього обидві частини рівняння ділимо на y(1+x), маємо:

, інтегруємо

2ln(1+x) = lny+ lnc , звідки

(1+x)² = yc - це загальний розв’язок рівняння .

Але за умовою задачі x=1, y=4 підставимо ці значення у загальний розв’язок

2² = 4·с, звідки с=1

При цій умові із загального розв’язку маємо у=(1+х)² - це і є частинний розв’язок даного рівняння.

Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду (3), де p i q - функції від x, або постійні величини.

Є кілька методів розв’язування рівняння (3). Один з них (метод Бернуллі) полягає в тому, що розв’зок цього рівняння шукають у вигляді добутку

y=u·v (4),

де u=u(x), v=v(x) - невідомі функції від х, причому одна з цих функцій довільна.

Знаходимо похідну рівності (4) (5) і підставляємо (4) і (5) в рівняння (3). Маємо:

Користуючись довільністю у виборі функції v(x), доберемо її так, щоб

тоді

Розв’яжемо ці рівняння, відокремлюючи в них змінні і інтегруючи, знайдемо функції u(x) і v(x), а потім і саму функцію y=uv.

Приклад 3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння :

Розв’язання:

Це лінійне рівняння. Нехай y=uv, . Маємо:

;

;

;

;

;

;

.

Підставляємо значення v у друге рівняння і розв’язуючи його знаходимо функцію u.

;

;

;

;

u=x+c.

Знаючи u і v знаходимо функцію y:

- загальний розв’язок даного рівняння.