Пряма лінія на площині

1 ) Y

- рівняння рямої, яка

C(x; y) проходить через дві

B(x₂; y₂) точки ;

A(x₁; y₁)

x

- рівняння прямої із

2 ) Y заданим напрямляючим

вектором ;

C ( x; y)

A ( x₁; y₁)

a( m; n)

3 ) Y B( x; y) a (x-x₁)+b (y-y₁)=0 - рівняння

прямої із

заданим нормальним вектором ;

n( a; b)

A( x₁; y₁)

X

4) y - y₁= k (x - x₁) - рівняння

прямої із

B( x; y) заданим кутовим коефіцієнтом (k=tg ) , або пучка прямих.; A( x₁; y₁)

 

5) Y

l₁|| l₂ <=>k₁=k_{2 -} умова парале-

l₁ l₂ льності прямих ;

 ₁  ₂

_Х

6 ) Y

l₂ l₁ l₁  l₂ <=> k₁= -умова

перпен-

дикулярності прямих

х

7)

Y tg  = - кут між прямими ;

l₁

  l₂

8) Точка перетину прямих знаходиться шляхом розв’язання системи рівнянь,яка складена з рівнянь даних прямих.

l₁

A( x; y)

l₂

9) ax + by + c= 0 - загальне рівняння прямої ;

10) y = - y -  y = kx + b - рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

k = - - кутовий коефіцієнт прямої.

Приклад. Дано ( 1; 1; 1), ( 2; 0; -1), ( 3; 4; 1). Знайти скалярний добуток векторів ; векторний добуток векторів ; мішаний добуток векторів .

Розв’язання:

= x₁x₂+ y₁y₂+ z₁z₂ ; = 12+10+1(-1)= 2+0-1 = 1.

;

(0+4) (2+3) + (8-0) =

4 - 5 + 8 .

;

= (0+4) - (2+3) + (8-0) =

4-5+8=7 .

Приклад. Дано трикутник АВС, вершини якого А( 1; 2 ), B( 2; 3 ),

C( -1; -1) . Скласти: 1) рівняння медіани АD; 2) рівняння висоти ВЕ.

Розв’язання:

Знайдемо координати точки D, як середини відрізка

x_D =

y_D =

D( ; 1)

За рівнянням прямої, яка проходить через дві точки складемо рівняння

медіани AD.

= ;

= ;

= ;

x-1 = y - ;

x- y - = 0 ;

2x - y - 1 =0 - рiвняння медiани AD

2) Cкладемо рівняння сторони АС.

= ;

= ;

3x-3 = 2y-4 ;

3x -2y+1=0 – рівняння сторони АС

-2y= -3x -1

y= ;

k_AC = ; k_BE = - так як вони перпендикулярнi.

З рiвняння пучка прямих маємо рiвняння висоти ВЕ

(y-3) = - (x-2)

y-3+ x - =0

2x+3y-13=0 - рiвняння висоти ВЕ.

Модуль 3. Комплексні числа

Число виду z= a+bi, де a i b дійсні числа, і- уявна одиниця, причому і² = -1,

називається комплексним числом.

Комплексне число можна записати у трьох формах:

1) z = a+bi - алгебраїчна форма запису;

2) z = r (cos + іsin ) - тригонометрична форма;

r- модуль комплексного числа ; - аргумент

3) z = r·e ^i - показникова форма.