Формула Лагранжа.

Воспользуемся геометрическим смыслом производной, чтобы дать наглядные пояснения справедливости того, что существует касательная к графику f в точке с абсциссой с из интервала (а; b), параллельная секущей, проходящей через точки A (a; f (а)), В (b; f (b)).  Рассмотрим прямую l, параллельную АВ и не имеющую общих точек с частью графика, соответствующей промежутку [а; b]. Будем перемещать эту прямую l по направлению к графику f так, чтобы она оставалась параллельной АВ. Зафиксируем положение l₀ этой прямой в момент, когда у нее появятся общие точки с этой частью графика. 

Из рис.1 видно, что любая из таких «первых» общих точек — точка касания прямой l₀ с графиком f. Обозначим абсциссу этой точки через с. Тогда f’(c)=tg α, где α — угол между прямой l₀ и осью абсцисс. Но l||АВ, поэтому угол α равен углу наклона секущей АВ, т. е. 

Итак, если функция дифференцируема, то на интервале (а; b) найдется такая точка c∈ (а; b) (рис. 2), что 

Эта формула называется формулой Лагранжа.

КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ФОРМУЛА

Перевод

КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ ФОРМУЛА

формула конечных приращений Лагранжа,- формула, выражающая приращение функции через значение производной в промежуточной точке. Если функция f непрерывна на отрезке [ а, b]числовой оси и дифференцируема в его внутренних точках, тогда

К. п. ф. записывают также в виде

Геометрич. смысл К. п. ф.: для хорды графика функции fс концами в точках (а, f(а)), (b, f(b))существует такая точка x, а<x<b, что касательная к графику функции в точке (x, f(x)) параллельна указанной хорде (см. рис.).

К. п. ф. обобщается на функции многих переменных: если функция f дифференцируема в каждой точке выпуклой области G n -мерного евклидова пространства, то для каждой пары точек   x+Dx= существует такая точка x=(x₁, ... , x_n), лежащая на отрезке с концами в точках хи x+Dx, что

Л. Д. Кудрявцев.

Промежутки монотонности функции

Определение. Функция   называется возрастающей на множестве  , если для любых значений аргумента   из   выполняется условие  .

Теорема 1. Если функция   имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке промежутка  , то   возрастает (убывает) на этом промежутке.

Теорема 2. Если функция непрерывна на промежутке   и возрастает (убывает) на промежутке  , то она возрастает (убывает) и на промежутке  .

Промежутки, на которых функция   возрастает (убывает) называются промежутками монотонности функции  .

Замечание. Функция возрастающая (убывающая) на всей области определения называетсявозрастающей (убывающей) функцией.

Замечание. Функция, возрастающая (убывающая) на каждом из нескольких промежутках не обязательно убывает на их объединении.

Конечных приращений формула Значение слова "Конечных приращений формула"

Конечных приращений формула, формула Лагранжа, одна из основных формул дифференциального исчисления, дающая связь между приращением функции f(x) и значениями её производной, эта формула имеет вид:

f(b)-f(a)=(b-a)f’(c),            (1)

  где с — некоторое число, удовлетворяющее неравенствам a<с<b. Формула (1) справедлива, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет производную в каждой точке интервала (а, b). Геометрически формула (1) выражает, что на кривой y = f(x) найдётся точка [c,f(c)], касательная в которой параллельна хорде, проходящей через точки [a, f(a)] и [b, f(b)]. К. п. ф. была открыта Ж. Лагранжем в 1797.

  Среди различных обобщений К. п. ф. следует отметить формулу Бонне

,

  её частный случай — формулу Коши

.

Рис. к ст. Конечных приращений формула.