Раскрытие неопределённостей вида , Определение («на языке последовательностей», или по Гейне)

Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀ (или при  ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n,  , сходящейся к х₀ (т.е.  ), последовательность соответствующих значений функции f(x_n),   сходится к числу А (т.е.  ).

Определение (на «языке ε-δ», или по Коши»)

Число А называется пределом функции y=f(x)  в точке х₀ (или при  , т.е.  ), если для любого положительно ε найдётся такое положительное число δ, что при всех  , удовлетворяющих неравенству  , выполняется неравенство  .

Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов:

Следствие. Функция может иметь только один предел при  .

Теорема 2. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:

Теоремы 1 и 2 справедливы для любого конечного числа функций.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

Следствие. 

Теорема. Предел дроби равен пределу числителя, делённому на предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:

, ( )

При нахождении пределов применяют соотношения:

, (k=const);         ;

;         ;

;        

;    

(28).

Постановка задачи. Найти  .

План решения. Для того чтобы найти   вычисляем f (х₀), при этом:

• если данное выражение имеет смысл, то предел равен этому выражению;

• если в результате вычислений нет неопределённостей, воспользуемся одним из соотношений (28).

№9. Найти пределы: 1)  ; 2)  ; 3)  .

► 1) Применяя теоремы о пределах, получаем:

= =

= ;

2) Пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю. Пользуясь теоремой о пределе частного, находим:  = ;

3) Непосредственно применять теорему о пределе частного нельзя, так как предел знаменателя равен нулю (в знаменателе есть бесконечно малая величина при  ). В числителе имеем ограниченную величину, отличную от нуля. Таким образом, под знаком предела будет произведение ограниченной величины  , отличной от нуля, на бесконечно большую величину   при   как величину, обратную бесконечно малой. Поэтому  . ◄

Постановка задачи. Найти  , где   или  .

План решения. Для того чтобы найти   вычисляем f (х₀), если в результате вычислений получилась неопределённость   или  , следует применить соответствующие правила для раскрытия данных неопределённостей.

Неопределённость вида

• Для того чтобы разрешить неопределённость вида , до вычисления предела средствами алгебры в числителе и знаменателе выделяем множитель   и сокращаем на него, т.к.  .

• Чтобы раскрыть неопределённость , в которой числитель или знаменатель содержит иррациональность, следует соответствующим образом избавиться от иррациональности.