Неопределённость вида

• Если числитель и знаменатель, сложные степенные функции: необходимо вынести за скобку в числителе и знаменателе дроби неизвестное с наибольшим показателем степени среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

Частный случай: предел рационального выражения вида

 при   будем рассматривать как предел частного двух многочленов, который равен:

• Если числитель и знаменатель, сложные показательные функции: за скобку вынести наиболее быстро возрастающее слагаемое среди всех слагаемых дроби; после сокращения дроби неопределённость устраняется.

№10. Найти пределы: 1)  ;2)  ; 3)  .

► 1)  = , для раскрытия данной неопределенности средствами алгебры разложим числитель и знаменатель на множители:

,

сократим множитель (х – 3) имеем:

= ;

2)  . 

Данное предельное выражение содержит иррациональность в числителе, следовательно, домножим дробь на сопряженное выражение, т.е. на  , тогда:

.

В числителе последнего выражения получилась формула — разность квадратов, таким образом:

;

3)  , 

для раскрытия данной неопределенности сделаем замену:

тогда исходное пределное выражение имеетвид:

,

которое раскрывается по известным правилам, т.е.:

= = . ◄

№11. Найти пределы: 1)  ; 2)  ;3)  ; 4)  .

► 1)  , 

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х², тогда:

= ;

2)  , 

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на х³, тогда:

;

3)  , 

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n⁴, тогда:

= = ;

4)  = , 

для раскрытия данной неопределенности разделим почленно числитель и знаменатель на n, тогда:

= =0. ◄

№12. Найти пределы: 1)  ; 2)  ; 3)  .

► Данные предельные соотношения можно рссмотреть, как частное двух многочленов, т.е:

1)  = =2;

2)  ;

3)  .◄

Постановка задачи. Найти  .

План решения. Для того чтобы найти   вычисляем f (х₀), если в результате вычислений получилась одна из неопределённостей  ,  или др., то данные неопределённости раскрываются путём преобразования и сведения их к неопределённости   или .

№13. Найти пределы: 1)  ; 2)  .

►1)  , 

данное предельное выражение преобразум таким образом:

= ;

2) Рассмотрим два случая:

а)  . Перенеся иррациональность из числителя в знаменатель, получим:

= = =0;

б)  .

Тейлора формула

Тейлора формула, формула

  

изображающая функцию f (x), имеющую n-ю производную f ⁽ⁿ⁾(a) в точке х = а, в виде суммы многочлена степени n, расположенного по степеням х—а, и остаточного члена R_n (x), являющегося в окрестности точки а бесконечно малой более высокого порядка, чем (x—a) ⁿ [то есть R_n (x) = an (x)(x—a) ⁿ, где an (x) ® 0 при х ® а]. Если в интервале между а и х существует (n + 1)-я производная, то R_n (x)можно представить в видах:

 ,

где x и x₁ — какие-то точки указанного интервала (остаточный член Т. ф. в формах Лагранжа и соответственно Коши). График многочлена, входящего в Т. ф.. имеет в точке а соприкосновение не ниже n-го порядка с графиком функции f (x). Т. ф. применяют для исследования функций и для приближённых вычислений.

Формы остаточного члена в формуле Тейлора

Существуют различные формы остаточного члена формулы Тейлора, но все они следуют из общей формы: 1. Форма Шлемильха-Роша. . (1) 2. Форма Лагранжа. Положим в (1)  , получим  . (2) При   имеем остаточный член в форме Лагранжа . (3) 3. Форма Коши. Положим в (2)  , получим  (4) 4. Форма Пеано. Используемая ранее форма .

МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА

Перевод

МАКЛОРЕНА ФОРМУЛА

- частный случай Тейлора формулы. Пусть функция f(x)имеет ппроизводных в точке x=0. Тогда в нек-рой окрестности Uэтой точки функцию f(x).можно представить в виде 

где r _п (х) - остаточный член n-го порядка, представимый в том или ином виде.

Остаточный член

Перевод

Остаточный член

        приближённой формулы, разность между точным и приближённым значениями представляемого этой формулой выражения. В зависимости от характера приближённой формулы О. ч. может иметь различный вид. Обычно задача исследования О. ч. состоит в том, чтобы получить для него оценки. Например, приближённой формуле

         

        соответствует точное равенство

         

        где выражение R является О. ч. для приближения 1,41 к числу √2 и известно, что 0,004 < R < 0,005. Далее, О. ч. постоянно встречается в асимптотических формулах. Например, для числа π(х) простых чисел, не превосходящих х, имеем асимптотическую формулу

         

        где μ — любое положительное число, меньшее ³/₅; здесь О. ч., являющийся разностью

        между функциями π(х) и  х ≥ 2, записан в виде  Тейлора формула)

         

        О. ч. R_n (x) в форме Лагранжа имеет вид

         

        где θ — некоторое число, причём 0 < θ < 1 (θ зависит, вообще говоря, от выбранных значений х и h). Наличие в формуле для R_n (x) числа θ вносит некоторую неопределённость; такого рода неопределённость свойственна многим формулам для О. ч.

         Можно говорить об О. ч. квадратурной формулы (См. Квадратурные формулы), интерполяционных формул (См. Интерполяционные формулы) и т.д.